2019届二轮复习　命题与充要条件学案（全国通用）

第2练　命题与充要条件
[明晰考情]　1.命题角度：命题和充要条件的判断在高考中经常考查，一般以选择题的形式出现，常以不等式、向量、三角函数、立体几何中的线面关系及数列等为载体进行考查.2.题目难度：低档难度．

考点一　命题及其关系
要点重组　(1)写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时要搞清命题的条件和结论．
(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
1．下列命题是真命题的是(　　)
A．若lg x2＝2，则x＝10
B．若x＝10，则lg x2＝2
C．若loga3＞loga2，则0＜a＜1
D．若0＜a＜1，则loga3＞loga2
答案　B
解析　在选项A中，x＝±10，C中，a＞1，D中，loga3＜loga2.
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案　D
解析　“若m，n垂直于同一平面，则m∥n”和D中命题互为逆否命题，正确．
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案　C
解析　原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题只有1个．

4．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α
B．若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α
C．若l∥α，m∥α，则l∥m或l⊥m
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β
答案　B
解析　取正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，对选项A，AB⊥AA1，AA1⊥平面ABCD，但AB⊥平面ABCD，AB∥平面ABCD均不成立；

选项B显然正确；
对选项C，A1B1∥平面ABCD，A1C1∥平面ABCD，
但A1B1与A1C1既不平行，也不垂直；
对选项D，AB∥平面CDD1C1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，但AB⊥平面ABCD，AB∥平面ABCD均不成立．
考点二　充要条件的判定
方法技巧　充要条件判定的三种方法
(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论．
(2)集合法：根据集合间的包含关系判定．
(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定．
5．在△ABC中，“A>”是“sin A>”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为A为△ABC的内角，则A∈(0，π)，
又由sin A>，则 而当A＝时，sin A＝<，
所以“A>”是“sin A>”的必要不充分条件，故选B.
6．设a>0且a≠1，则“logab>1”是“b>a”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分不必要条件
答案　C
解析　logab>1＝logaa⇔b>a>1或0a时，b有可能为1.所以两者没有包含关系，故选C.
7．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当x＋y≠－2时，x，y不都是－1，
故p⇒q.
当x，y不都是－1时，如x＝－3，y＝1，此时x＋y＝－2.
故q⇏p.
所以p是q的充分不必要条件．
8．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　如图，①(x－1)2＋(y－1)2≤2表示圆心为(1,1)，半径为的圆内区域所有点(包括边界)；②表示△ABC内部区域所有点(包括边界)．实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立．则p是q的必要不充分条件．故选A.

9．设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵<.
∴－<θ－<，即0＜θ＜.
显然当0＜θ＜时，sin θ＜成立．
但当sin θ＜时，由周期函数的性质知，
0＜θ＜不一定成立．
故“＜”是“sin θ＜”的充分不必要条件．
故选A.
考点三　充要条件的应用
方法技巧　充要条件的应用主要是参数的求解，要注意：
(1)将条件之间的关系转化为集合间的关系．
(2)区间端点要进行检验．
10．若“0＜x＜1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案　C
解析　(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，
∵(0,1)[a，a＋2]，
∴解得－1≤a≤0.
11．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－7]∪[1，＋∞) B．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，7]
答案　A
解析　设P＝{x|(x－m)2＞3(x－m)}＝{x|(x－m)(x－m－3)＞0}
＝{x|x＜m或x＞m＋3}，
Q＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|(x＋4)(x－1)＜0}＝{x|－4＜x＜1}．
因为p是q成立的必要不充分条件，即等价于QP，
所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1.
12．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
答案　－1
解析　由x2＞1，得x＜－1或x＞1.
又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，
所以由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，
所以a≤－1，即a的最大值为－1.
13．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若“x∈B”是“x∈A”的充要条件，则m＝______.
答案　2
解析　由“x∈B”是“x∈A”的充要条件，得A＝B，
∴{x|－1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜m＋1}，∴m＝2.
14．已知命题p：实数m满足m2＋12a2＜7am(a＞0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案　
解析　由a＞0，m2－7am＋12a2＜0，
得3a＜m＜4a，即命题p：3a＜m＜4a，a＞0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜，
即命题q：1＜m＜，因为p是q的充分不必要条件，
所以或解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.

1．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
答案　A
解析　对于A，其逆命题是：若x＞|y|，则x＞y，是真命题，这是因为x＞|y|≥y，必有x＞y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25＞1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0.由于当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故它是假命题；对于D，若x2＞0，则x＞0或x＜0，不一定有x＞1，因此原命题的逆否命题是假命题．
2．“a≤2”是“函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增⇔a≤－1.
∵{a|a≤－1}{a|a≤2}，
∴“a≤2”是“函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增”的必要不充分条件．
3．下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
答案　①③④
解析　对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；
对于②，sin 30°＝sin 150°⇏30°＝150°，∴②错误；
对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，
即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，
∴③正确；④显然正确．
解题秘籍　(1)判断一个命题的真假，可以通过其逆否命题的真假判断；确定一个命题是假命题，可以利用反例．
(2)解题时要注意将条件之间的关系转化为集合间的关系．

1．命题“若ac2>bc2，则a>b”的否命题是(　　)
A．若ac2>bc2，则a≤b B．若ac2≤bc2，则a≤b
C．若a≤b，则ac2>bc2 D．若a≤b，则ac2≤bc2
答案　B
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题
B．命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”的逆命题是真命题
C．命题“若两个数的和大于零，则这两个数都大于零”的否命题是真命题
D．命题“若α＜β，则sin α＞sin β”是真命题
答案　C
解析　命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是“若a≥b，则am2≥bm2”，是真命题；命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”的逆命题是“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，是假命题；命题“若两个数的和大于零，则这个两个数都大于零”的否命题是“若两个数的和不大于零，则这两个数不都大于零”，是真命题；命题“若α＜β，则sin α＞sin β”是假命题，故选C.
3．已知平面α，β和直线l1，l2，且α∩β＝l2，则“l1∥l2”是“l1∥α，且l1∥β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若α∩β＝l2，l1∥l2，
则可能有l1⊂α或l1⊂β，充分性不成立；
若l1∥α，l1∥β，α∩β＝l2，则l1∥l2成立，必要性成立．
4．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，
故q<0是q<－1的必要不充分条件．故选C.
5．设a为实数，直线l1：ax＋y＝1，l2：x＋ay＝2a，则“a＝－1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由l1∥l2，得a2－1＝0，解得a＝±1，则“a＝－1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
7．设命题p：f(x)＝ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)内单调递增，命题q：m≥－5，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　f′(x)＝＋4x＋m(x＞0)，
由f′(x)＝＋4x＋m≥0，得m≥－.
因为＋4x≥2＝4，
所以－≤－4，所以m≥－4，即p：m≥－4.
所以p是q的充分不必要条件，故选A.
8．“a＝”是“直线2ax＋(a－1)y＋2＝0与直线(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
解析　若两条直线垂直，则2a(a＋1)＋3a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝，所以“a＝”是“直线2ax＋(a－1)y＋2＝0与直线(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的充分不必要条件．
9．下列命题：
①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；
②不存在x∈(0,1)，使不等式log2x ③“若am2 其中正确的命题序号是________．
答案　①
解析　①当α⊥β时，可以是平面β内任意一条直线，所以得不到m∥n，当m∥n时，m⊥α，所以n⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件，所以①正确；②log2x＝，log3x＝，因为lg 2，当x∈(0,1)时，<，即log2x 10．在平面直角坐标系中，点在第四象限的充要条件是____________________．
答案　
解析　点在第四象限
⇔⇔－1 11．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“cos A＞cos B”是“a＜b”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　由题意知，A，B∈(0，π)，若cos A＞cos B，
根据函数y＝cos x在(0，π)上为减函数，得A＜B，
由大角对大边，得a＜b，反之也成立．
所以“cos A＞cos B”是“a＜b”成立的充要条件．
12．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案　②③
解析　①设A(1,0)，则A的“伴随点”为A′(0，－1)，
A′的“伴随点”为A″(－1,0)，∴①是假命题；
②在单位圆上任取一点P(cos θ，sin θ)，
则P的“伴随点”为P′，
即P′(sin θ，－cos θ)仍在单位圆上，
∴②是真命题；
③设M(x，y)，M关于x轴的对称点为N(x，－y)，
则M的“伴随点”为M′，
N的“伴随点”为N′，
∴M′与N′关于y轴对称，∴③是真命题；
④取直线y＝x＋1，在该直线上取三个不同的点D(0,1)，E(1,2)，F(2,3)，
则D的“伴随点”为D′(1,0)，
E的“伴随点”为E′，
F的“伴随点”为F′，
通过计算可知，D′，E′，F′三点不共线，故④是假命题．