2019届二轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案（全国通用）
展开1．理解命题的概念
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
热点题型一 四种命题及其真假判断
例1、 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)。
①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题。
答案：(1)A (2)②
.
【提分秘籍】
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题” “否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。对涉及数概念的命题的判定要从概念本身入手。
【举一反三】
已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析：由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1。∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。
答案：D
热点题型二 充分条件、必要条件的判断
例2、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【变式探究】【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
【提分秘籍】 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件。
【举一反三】
设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件。 .
答案：A
热点题型三 充分条件、必要条件的应用
例3．（2018年天津卷）设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【变式探究】已知集合M＝{ ＜－3或x＞5}，P＝{x (x－a)·(x－8)≤0}。
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x 5＜x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x 5＜x≤8}的一个充分但不必要条件； .
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x 5＜x≤8}的一个必要但不充分条件。
解析：(1)由M∩P＝{x 5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x 5＜x≤8}的充要条件是{a －3≤a≤5}；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x 5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a －3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x 5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x 5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一个充分不必要条件；
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x 5＜x≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q，使{a －3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．如果{a a≤5}时，未必有M∩P＝{x 5＜x≤8}，但是M∩P＝{x 5＜x≤8}时，必有a≤5，故{a a≤5}是所求的一个必要不充分条件。
【提分秘籍】 _ _ .
与充要条件有关的参数问题的求解方法
解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解。
【举一反三】
原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
答案：A
1.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
2. （2018年北京卷）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件，综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
3. （2018年天津卷）设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件，本题选择A选项。
4.（2018年北京卷）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
【答案】（答案不唯一）
1.【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
1.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
2.【2016高考上海文 】设，则“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.
1.【2015高考山东，文5】设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )
（A）若方程有实根，则
(B) 若方程有实根，则
(C) 若方程没有实根，则
(D) 若方程没有实根，则
【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.
2.【2015高考湖北，文3】命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C.
1．（2014·安徽卷） 命题“∀x∈R， x ＋x2≥0”的否定是( )
A．∀x∈R， x ＋x2<0
B．∀x∈R， x ＋x2≤0
C．∃x0∈R， x0 ＋x<0
D．∃x0∈R， x0 ＋x≥0
【答案】C
【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R， x0 ＋x<0”．
2．（2014·福建卷） 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
【答案】C
【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.
3．（2014·湖北卷） 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∈/R，x≠x0 D．∃x0∈R，x＝x0
【答案】D
【解析】特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x＝x0”. 故选D.
4．（2014·湖南卷） 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )
A．∃x0∈R，x＋1＞0 B．∃x0∈R，x＋1≤0
C．∃x0∈R，x＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
【答案】B
【解析】由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x＋1≤0.
5．（2014·天津卷） 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C. ∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1
D. ∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
【答案】B
