2019届二轮复习（理）专题57几何概型学案（全国通用）
展开1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
2.了解几何概型的意义.
1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型．
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
3．几何概型的概率公式
P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
]
高频考点一、与长度(角度)有关的几何概型
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为 .
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.
答案 (1)B (2)
【方法规律】(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.
(2)①第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝.
②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.
【变式探究】 (1)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的倍的概率是( )
A. B. C. D.
(2)在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为 .
解析 (1)如图，作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞R，
∴P＝＝.
(2)设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个根分别为x1，x2，由题意得，
解得＜p≤1或p≥2，
结合p∈[0，5]得p∈∪[2，5]，
故所求概率为＝.
答案 (1)B (2)
高频考点二 与面积有关的几何概型(
【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
解析 如图，数对(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.学 .
由几何概型的概率公式可得＝，故π＝.
答案 C
【举一反三】在满足不等式组
的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
【方法规律】(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.
(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.
【变式探究】如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B. C. D.
答案 B
高频考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为 .
解析 过M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M－ABCD的高，显然M在平面RS上任意位置时，四棱锥M－ABCD的体积都相等.若此时四棱锥M－ABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.
答案
【方法规律】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
【变式探究】 一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是 .
答案
1. （2018年全国I卷理数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2 B. p1=p3
C. p2=p3 D. p1=p2+p3
【答案】A
1.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．
答案
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
2．(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．
答案
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝.
1.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.
答案 B
2.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B. C. D.
解析 如图，数对(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内. ]
由几何概型的概率公式可得＝，故π＝.
答案 C
3.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为 . + +k ]
]
答案
1.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( ) 学 ]
A. B. C. D.
解析 由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的
概率为＝，故选A.
答案 A
2.(2015·福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f (x)＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B. C. D.
答案 B
3.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( )
A.p1<p2< B.p2<<p1
C.<p2<p1 D.p1<<p2
解析 (x，y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝＞，
所以p1＜＜p2，故选D.
答案 D
