2019届二轮复习（理）几何概型学案（全国通用）

【母题 一】【2018高考新课标1理数10】

【母题原题】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A. p1=p2    B. p1=p3

C. p2=p3    D. p1=p2+p3

【答案】A

点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.

【母题 二】【2017高考新课标1理数2】

【母题原题】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【母题 三】【2016高考新课标1理数4】

【母题原题】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）           （B）           （C）         （D）

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.    学  ]

【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.

【命题意图】

(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.

(2)了解几何概型的意义.

【命题规律】

一、几何概型

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．

         (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．

二、几何概型的概率公式：P(A)＝

【方法总结】

1、与长度角度有关的几何概型的公式：P(A)＝

2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝.

1．【安徽省六安市舒城中学2018届高三仿真（三）】甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设出甲，乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件，同时列出这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的约束条件，利用线性规划作出平面区域，再利用几何概型概率公式求出概率

【详解】

设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，

【点睛】

本题主要考查了建模，解模能力，解答的关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率。   

2．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 (　　)

A．     B．     C．     D． 无法计算

【答案】C

【解析】

【分析】

求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.

【详解】

设阴影区域的面积为，，所以.

故选C.

【点睛】

本题考查几何概型的应用，属基础题.

3．【湖北省黄石市2018年高三五月适应性考试】一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为 (       )

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

则

则使取到的点到三个顶点的距离都大于的概率为：

故选

【点睛】

本题是一道关于几何概型的题目，解决几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，然后求出结果。

4．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四）】如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（    ）

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

概率，   

故选：A．

【点睛】

定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．

(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．

(3)若y＝f(x)为奇函数，则 ＝0.

5．【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）．若直角三角形中一条较长的直角边为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（    ） 

   ]

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

6．【广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺】《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(   )

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.  

7．【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形内的概率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用扇形面积公式与三角形面积公式求出莱洛三角形的面积以及三角形的面积，由几何概型概率公式可得结果.

【详解】

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

8．【黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(三)】如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（    ）

  ]

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.

9．【河南省郑州市2018届高三第三次质量预测】七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（   ）   ]

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。

详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，

所以，

故选C。

点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。

10．【福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟考试】折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接、，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

点睛：解决几何概型问题的易误点：

(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．

(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．

11．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在整，三个指针(时针、分针、秒针)所在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

12．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（    ）   

A．     B．     C．     D．

【答案】A

点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．

13．【云南省昆明市2018届5月适应性检测】一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“ ”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：此题属于几何概型。设一个“ ”的 面积为1，根据在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为．可求出一个矩形的面积，再由深色区域的面积比矩形的面积可求得结果。

详解：设一个“ ”的 面积为1，在一个显示数字8的显示池中，有7个“ ”，

故深色区域面积为7，因为点落在深色区域内的概率为，设矩形的面积为，

所以。在一个显示数字0的显示池中有6个“ ”，

 故深色区域面积为6，

所以若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为。 故选C。

点睛：本题属于几何概率模型，几何概型问题包含面积比、长度比、 体积比，本题意在考查学生的运算能力和转化能力。   

14．【福建省漳州市2018届高三5月质量检查测试】做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于的正数，然后请他们各自检查一下，所写的两数与是否构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，作为主角的你，只需将每个人的结论记录下来就行了．假设有个人说“能”，而有个人说“不能”，那么由此可以算得圆周率的近似值为

A．     B．     C．     D．

【答案】D

点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

15．【福建省南平市2018届高三第二次综合质量检查】如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．