2019届二轮复习第十章第56讲　直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用）

第56讲　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求　高考中重点考查直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.

诊 断 自 测
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是 .
解析　由条件得即所以椭圆方程为＋y2＝1.
答案　＋y2＝1
2.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且AF＝2，则BF＝ .
解析　设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，抛物线y2＝4x，焦点为(1，0)，准线为x＝
－1，AF＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.则AF与x轴垂直，故BF＝AF＝2.
答案　2
3.若直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝ .
解析　由消去y得ax2－x＋1＝0，
所以解得a＝.
答案　
4.已知双曲线x2－＝1的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a＝ .
解析　由双曲线标准方程特征知a>0，其渐近线方程为x±y＝0，可得渐近线
x＋y＝0与直线x－2y＋3＝0垂直，可得－2＝0，所以a＝4.
答案　4
5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e＝ .
解析　在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，PF1＝2PF2，根据椭圆的定义得PF2＝a，PF1＝a.又PF－PF＝F1F，即a2－a2＝4c2，则e＝＝.
答案　
知 识 梳 理
1.直线和圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.
这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：f(x，y)＝0，由即将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y便得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(当然，也可以消去x得到关于y的一元二次方程)，通过一元二次方程解的情况判断位置关系，见下表：
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的关系
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无公共点

b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴或与双曲线的渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ>0
两个不等的解
两个交点
Δ＝0
两个相等的解
一个交点
Δ<0
无实数解
无交点
2.直线与圆锥曲线相交弦的问题
弦所在直线的方程问题，可以利用“设点代点，设而不求”的方法(设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接求解)．
3.点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则两式相减可得·＝－，即kAB·＝－，亦即kAB·kOM＝－，对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
4.弦长公式
若直线y＝kx＋b与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长AB＝＝·．若直线x＝my＋t与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长AB＝．
5．直线与圆锥曲线位置关系的应用
(1)求参数；(2)求弦长；(3)求最值、范围．

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得PT2＝λPA·PB，并求λ的值.
(1)解　由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).
(2)证明　由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得
所以P点坐标为.PT2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－ 由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以PA＝
＝，同理PB＝.
所以PA·PB＝
＝
＝
＝m2.
故存在常数λ＝，使得PT2＝λPA·PB.
规律方法　直线与圆锥曲线综合问题的核心是直线方程，通过代数的运算解决图形的几何特征(如等腰、直角、平分等)．
【训练1】 (2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
解　(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程：y＝－(x－1)．②
由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又P在椭圆E上，故＋＝1.
由解得x0＝，y0＝；
无解．
因此点P的坐标为.
考点二　根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数
【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆Ω：＋y2＝1，A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.

(1)求k1k2的值；
(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解　(1) 由题意得A(2，0).设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，所以k1k2＝·＝＝－.
(2)联立
得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，
解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝.
联立
得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
所以kBC＝＝，
kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC.
【训练2】 (2017·南通二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点.

(1)若点C的坐标为，求a，b的值；
(2)(一题多解)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率.
解　(1)因为椭圆的离心率为，
所以＝，即＝.①
又因为点C在椭圆上，
所以＋＝1.②
由①②解得a2＝9，b2＝5.
因为a>b>0，所以a＝3，b＝.
(2)法一　由①知＝，所以椭圆方程为＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2.
设直线OC的方程为x＝my，B(x1，y1)，C(x2，y2).
由得5m2y2＋9y2＝5a2，
所以y2＝.因为y2>0，所以y2＝.因为＝，所以AB∥OC.可设直线AB的方程为x＝my－a.
由得(5m2＋9)y2－10amy＝0，
所以y＝0或y＝，得y1＝.
因为＝，
所以＝，于是y2＝2y1，
即＝，所以m＝.
所以直线AB的斜率为＝.
法二　由(1)可知椭圆方程为5x2＋9y2＝5a2，则A(－a，0).
设B(x1，y1)，C(x2，y2).
由＝，得＝，
所以x1＝x2－a，y1＝y2.
因为点B，点C都在椭圆5x2＋9y2＝5a2上，
所以
解得x2＝，y2＝，
所以直线AB的斜率k＝＝.

一、必做题
1.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
解析　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义知P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.
答案　2
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为 .
解析　由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则有x1≠x2，
两式相减得y－y＝4(x1－x2)，∴ ＝.
∵ AB的中点为(2，2)，∴ y1＋y2＝4，∴ ＝1.
∴ 直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案　y＝x
3.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 .
解析　∵－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
答案　x2＝16y
4.在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点.若直线PQ斜率为时，PQ＝2，则椭圆C的标准方程为 .
解析　设P，∵直线PQ斜率为时，PQ＝2，∴x＋＝3，∴x＝2，∴＋＝1.∵e＝＝＝，∴a2＝4，b2＝2.∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案　＋＝1
5.已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝ .
解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.
由kPA·kPB＝·＝
＝＝＝知kPA·kPB为定值.
答案　
6.如图，A，B，C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点.其中，点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC，则椭圆的离心率为 .

解析　因为BC过椭圆M的中心，所以BC＝2OC＝2OB.又AC⊥BC，BC＝2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A(a，0)，C，B，AB＝a，所以＋＝1，则a2＝3b2，所以c2＝2b2，e＝.
答案　
7.已知椭圆C: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A，B两点.若＝3，则k＝ .
解析　设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直AA1于E.由第二定义得AA1＝，BB1＝.由＝3，得AA1＝，∴ cos∠BAE＝＝
＝＝，
∴ sin∠BAE＝，
∴ tan∠BAE＝，即k＝.
答案　
8.已知椭圆：＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点.若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是 .
解析　由题意知a＝2，所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8，因为BF2＋AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1.又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
答案　
9.设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C上的一点，且2·＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为OF1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点P(－1，0)，交y轴于点M.若＝2，求直线l的方程.
解　(1)由题设知F1(－，0)，F2(，0).
由于2·＝0，则有2⊥，
所以点A的坐标为，
故AF1所在直线方程为y＝±.
所以坐标原点O到直线AF1的距离为(a>).
又OF1＝，
所以＝，解得a＝2(a>)，
所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)，设Q(x1，y1)，
∵ ＝2，
∴ (x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)，
∴
又Q在椭圆C上得＋＝1，
解得k＝±4.
故直线l的方程为y＝4(x＋1)或y＝－4(x＋1)，即4x－y＋4＝0或4x＋y＋4＝0.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点A(2，1)，离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.
解　(1)由条件知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝＝，所以b2＝a2－c2＝a2.
又点A(2，1)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，
所以＋＝1，解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，整理得
(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0，①
由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，
因为k≠0，所以m＝0.
因为当m＝0时，B，C关于原点对称，
设B(x，kx)，C(－x，－kx)，由方程①得x2＝.
因为AB⊥AC，A(2，1)，所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，所以k＝±.
由于k＝时，直线y＝x过点A(2，1)，故k＝不符合题设.
所以此时直线l的方程为y＝－x.
二、选做题
11.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0 解析　设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0).由AF1＝3F1B，可得1＝3，故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
答案　x2＋＝1
12.(2018·南京、盐城模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点.
(1)解　依题意得e＝＝，
过右焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆＋＝1，
联立解得弦长为＝1，
∴a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设P(1，t)，kPA＝＝，
直线lPA：y＝(x＋2)，

联立得
即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，
可知－2xM＝，所以xM＝，
则同理得到
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)，
又kMQ＝，kNQ＝，
kMQ＝kNQ，所以化简得(8m－32)t2－6m＋24＝0，
令得m＝4，
即直线MN经过定点(4，0).