2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之二次函数学案（全国通用）

【高中数学】必须掌握的题型之二次函数

【知识概括】

1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：.

②顶点式：.

③零点式: .

(2)二次函数的图象和性质

题型一　求二次函数的解析式

例1　(1)(2016·南京模拟)已知二次函数与轴的两个交点坐标为和且有最小值，则        .

【答案】　

【解析】　设函数的解析式为，

所以，由，

得，所以.

(2)已知二次函数的图象经过点，它在轴上截得的线段长为，并且对任意，都有，求的解析式.

【答案】

【解析】　对任意恒成立，

的对称轴为.

又的图象被轴截得的线段长为.

的两根为和.

设的解析式为，

又的图象过点，

，

所求的解析式为，

即.

【思维升华】　求二次函数解析式的方法

题型二　二次函数的图象和性质

例2 二次函数的单调性

　函数在区间上是递减的，则实数的取值范围是         .

【答案】　

【解析】　当时，在上递减，满足条件.

当时，的对称轴为，

由在上递减知，

解得.

综上，的取值范围为.

例3 二次函数之定轴定区间

已知函数在闭区间上取值范围为       .

【答案】

【解析】画图像，找出最高点和最低点，即可。

【思维升华】如果认定端点处一定取得最值的，拉出去打一顿，打到怀疑人生即可.

二次函数之定轴动区间

例4：已知函数在闭区间上有最大值，最小值2，则的取值范围为       .

【答案】　

【解析】　如图，由图象可知的取值范围是.

例5：求函数在闭区间上的取值范围为       .

【答案】见解析

【解析】

1.如图

2.（2咋来的？清楚不？）

，（认为最小的，可以拉出去打了，不过要打满5分钟哦）

，（最小值写成3的，开打吧）

二次函数之动轴定区间

例6.已知二次函数，求函数的值域.

【答案】见解析

【解析】

1.时

如图，值域为

2.   时

当时，值域为；当时，值域为（这里理解没？）

3.

值域为

【思维升华】都是根据对称轴和开口方向来画草图，在草图上找到最高点和最低点的.

二次函数之动轴动区间

高中碰到的不多，这里不做赘述了

　二次函数中的恒成立问题

例7 (1)已知是实数，函数在上恒小于零，则实数的取值范围为        .

【答案】　

【解析】　在上恒成立.

当时，，成立；

当时，，因为，当时，右边取最小值，所以.

综上，实数的取值范围是 .

(2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】　求二次函数在给定区间上的最大值，二次函数的图象的对称轴为直线.

①当，即时，或，由，得且，解得，又，故；

②当，即时，函数在上单调递增，故，由，得，又，故；

③当，即时，函数在上单调递减，故，由，得，

又，故.

综上知，实数的取值范围为.

【思维升华】　(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：恒成立，恒成立.

分类讨论思想在二次函数最值中的应用

　已知函数在区间上有最大值，求实数的值.

 思想方法指导　已知函数的最值，而图象的对称轴确定，要讨论的符号.

【答案】的值为或. 

【解析】　.            

（1）当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去；  

(2)当时，函数在区间上是增函数，最大值为，解得；

(3)当时，函数在区间上是减函数，最大值为，解得.

综上可知，的值为或.