2019届二轮复习函数学案（全国通用）


2018二模汇编高考最后冲刺讲义——函数

一、考纲解读：
内容
要求
记忆水平
解释性理解水平
探究性理解水平









一
、
函数及其基本性质
函数的
有关概念

理解函数的概念
熟悉函数表达的解析法、列表法和图像法
懂得函数的抽象记号以及函数定义域和值域的集合表示
掌握求函数定义域的基本方法
在简单情形下能通过观察和分析确定函数的值域
函数的运算

理解两个函数的和与积的概念

函数关系
的建立

会分析变量并建立函数关系
能根据不同问题灵活地用解析法、列表法和图像法来表示变量之间的关系
会建立具有实际背景的简单问题的函数模型
函数的
基本性质

能用“二分法”求函数的零点
能利用函数的奇偶性描绘函数的图像
能从解析的角度理解函数的奇偶性、单调性、零点、最大和最小值等基本性质

能对函数的奇偶性、单调性、零点、最大和最小值等基本性质进行解析研究
掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图像特征
掌握研究函数性质的方法
会用函数的性质来解决简单的实际问题


内容
要求
记忆水平
解释性理解水平
探究性理解水平
二
、
指数函数与对数函数
简单的
幂函数、
二次函数
的性质
知道幂函数的概念（所研究的幂函数的幂指数）

掌握简单的幂函数、二次函数的性质
指数函数的性质与图像

理解指数函数的意义
理解指数函数的应用价值
掌握指数函数的性质和图像
对数

理解对数的意义
初步掌握换底公式的基本运用
掌握积、商、幂的对数的性质
会用计算器求对数
反函数


掌握互为反函数的两个函数之间的关系
对数函数的性质与图像

理解对数函数的意义
理解对数函数的应用价值
掌握对数函数的性质和图像
指数方程
和对数方程

理解指数方程和对数方程的概念
初步掌握求指数方程和对数方程近似解的常用方法，如图像法、逼近法或使用计算器等
会解简单的指数方程和对数方程
会利用函数的性质求解指数方程、对数方程以及求方程的近似解
体会函数与方程之间的内在联系
函数的应用


会建立函数模型解决简单的实际问题

二、知识梳理：
1、函数的概念理解：对应关系中需要唯一的y值，掌握函数的解析法与图像法、分段函数问题

［举例1 （2014长宁区一模18）函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可以是 （ B ）

a
b
O
-4
4
a
b
O
4
-4

a
b
O

4
-4
a
b
O
-4
4

A． B． C． D．

[举例2 （2013杨浦区二模14题）函数的定义域为，其图像上任一点满足．
① 函数一定是偶函数；
② 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③ 函数可以是奇函数；
④ 函数如果是偶函数，则值域是或；
⑤ 函数值域是，则一定是奇函数．
其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．
【答案】②③⑤

2、奇函数对定义域内的任意满足；偶函数对定义域内的任意满足.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在，则；反之不然.
［举例1 若函数是奇函数，则实数＿＿＿＿＿＿＿；
分析：注意到有意义，必有，代入得.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.
[举例2 若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是＿.
分析：函数是偶函数，必有，得；又由是偶函数，因而.
即，所以此函数的值域为.


3、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.
［举例 若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数
满足：，求的取值范围.
分析：因为是偶函数，等价于不等式，又此函数在上递增，则在递减.所以，解得.

4、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像，作出函数的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像.
［举例1 函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：函数的图像是由函数的图像经过下列变换得到的：先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的（或将函数的图像向上平移1个单位）得到函数的图像，再将函数的图像作关于轴对称得到函数的图像，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像向下平移1个单位得到函数，最后将函数的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与.
需要注意的是：函数图像变化过程：与变化过程：不同.前者是先作关于轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线对称.

［举例2 若函数有四个不同的单调区间，则实数的取值范围是
答案：。

5、数与形的结合：研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.
［举例1 已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的
取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.


O

1

分析：不等式的解集不为空集，亦即函数的图像上有点在函数的图像的上方. 函数的图像是轴上方的半支抛物线，
函数的图像是过点斜率为的直线.
当时直线与抛物线相切，由图像知：.
（注意图中的虚线也满足题义）



1
-1


O

[举例2 若曲线与直线没有公共点，则应当满足的条件是 .
分析：曲线是由与组成，它们
与轴的交点为和，图像如图（实线部分）.可以看出若直线
与曲线的图像没有公共点，此直线必与轴平行，所以，.




[举例3 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
．； ．； ．； ．．
答案：D
[举例4 ，若互不相同，
且，则的取值范围是
答案：
详解：根据题意，如图所示，，，，所以答案为

教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，
尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点
进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况


6、反函数： 求解过程及抽象理解，性质关系及存在反函数的充要条件
［举例1 函数，（），若此函数存在反函数，则实数的取值范围是＿.
分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数图像的对称轴为直线知：或必存在反函数，或必不存在反函数.当时如何讨论？注意到函数在区间上递减，在上递增，所以只要或即可.亦即或.综上知，实数的取值范围是.
［举例2 函数的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：令，则.因为，所以，
则，.又原函数的值域为，所以原函数的反函数
为.（若是从反函数表达式得求得就不是反函数的定义域）.

［举例3 设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2)，则函数的图象一定过点 .（-1，2）

［举例4 已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的 （　充分非必要　）条件
［举例5 已知函数定义在R上,存在反函数,且,若的反函数是,则=
答案：-1981
分析先对反解得出原函数为与为同一函数，即可得出关系

7、单调性的判别与证明，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：单调性的应用
函数的单调性.
[举例 已知函数在上是单调增函数，求实数的取值范围.
分析：函数称为“耐克”函数，由基本不等式知：当时，函数的最小值是，当时等号成立.时，函数递减；时，函数递增.记住此结论在解选择、
填空等小题时用起来比较方便.函数在上递增，则，得.
但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.
任设且.，由函数是单调增函数，
则，而，则.所以对于且
恒成立，因，故.
需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，
因为“大题”需要严格的论证过程.


8、基本初等函数的图像与性质


［举例1 求函数在区间的最值.
分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.
，.

［举例2 已知，函数.
(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
【解答】（Ⅰ）由题意，. …………………………………………1分

当时，，解得； ……………………………2分
当时，，解得. ……………………………3分
综上，所求解集为……………………………………………………4分
（Ⅱ）①当时，在区间上，，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是，
∵，∴，
∴……………………………………………………6分
② 当时，在区间[1,2 上，，……8分
③当时，在区间[1,2 上，，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是，
当即时，…………10分
当即时，
∴综上， …………………………………………12分

［举例3 已知为实数，函数．
（1）若（），试求的取值范围；
（2）若，，求函数的最小值．

（1）即，又，2分
所以，从而的取值范围是． ……5分
（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分
由解得，所以当时，函数的最小值是； ……11分
下面求当时，函数的最小值．
当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为．
[当时，函数在上为减函数的证明：任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．
于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值．

9、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.
［举例1 已知函数的最大值不大于，又当时，，求实数的值.
分析：，则，又此二次函数开口向下，则有.知.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.
[举例2 求函数在区间上的最大值与最小值.
分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设，则，.当时，取最小值4；当时，取最大值.所以函数在区间上的最大值为，最小值为.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法.


10、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.
［举例
（1）已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围.
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
分析：（1）由得：对于）恒成立，因，所以，当时等号成立.所以有.
（2）注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设，则在上单调递减，则问题等价于，所以或，则取值范围为.

（3）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
答案：
（4）已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____
答案：（-8,2）


11、重视应用题

［举例1 （2013闸北二模理8）某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为　　 　．
【答案】


［举例2 据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．
（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？
（2）试将2011年该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数，并求2011年的最大利润．

11．解：（1）由题意可知，当时，（万件），由可得．
所以．………………………………………………………………………….3分
由题意，有，解得．
所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分
（2）由题意，有每件产品的销售价格为（元），
所以，2011年的利润

． ……………………………………………….4分
因为，，
所以， ………………………………………4分
当且仅当，即（万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分

图1



















图2
［举例3 如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值

解：（1）由题意，得在线段CD：上，即，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、M ，
所以；.…………………………………………………………………2分.
；………………………4分
所以的取值范围是..………………………………………………6分
（2）由题意，得，..…………………………………………8分
所以
则，..……………………………10分
因为函数在单调递减，..………12分
所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米 .………14分

三、2018年二模汇编：


四、直击高考：
1、填空题
1、（2009年上海高考理14）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为_____.
答案：
解析：由得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13，，
它的图象是以（3，－2）为圆心，为半径的一段圆弧，
设过原点且与曲线C相切的直线为y＝x，当θ＝0时， ＝－＝，此时直线的倾斜角为β，
即tanβ＝，当切线与y轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针
旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，则tan（90°－β）＝，即θ＝
2、（2009年上海高考文1）函数的反函数_____________.
答案：
解析：由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案.
3、（2010年上海高考理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 .
答案：（0，-2）
解析：f(x)=的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
4、（2010年上海高考文9）函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 .
答案：（0，-2）
解析：法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2
法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）
5、（2011年上海高考理1）函数的反函数为 .
答案：
6、（2011年上海高考理13）设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
答案：
7、（2011年上海高考文2）若函数的反函数为，则
答案：
8、（2011年上海高考文14）设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为
答案：
9、（2012年上海高考理7）已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .
答案：
解析：根据函数看出当时函数增函数，而已知函数在区间上为增函数，所以的取值范围为： .
10、（2012年上海高考理9）已知是奇函数，且，若，
则 .
答案：
解析：因为函数为奇函数，所以 .
11、（2012年上海高考理13）已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 .
答案：
12、（2012年上海高考文6）方程的解是 .
答案：
13、（2012年上海高考文9）已知是奇函数，若且，则 .
答案：
14、（2012年上海高考文13）已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 .
答案：
15、（2013年上海高考理6）方程的实数解为________
答案：
16、（2013年上海高考文8）方程的实数解为 ．
答案：
17、（2013年上海高考文13）设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．
答案：
18、（2013年上海高考理12）设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________
答案：
19、（2013年上海高考理14）对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
答案：2

20、（2014年上海高考理4）设 若，则的取值范围为 ．

答案：
21、（2014年上海高考理9）若，则满足的的取值范围是 ．
答案：
22、（2014年上海高考文3）设常数，函数．若，则 ．
答案：
23、（2014年上海高考文9）设 若是的最小值，则的取值范围为 ．

答案：

24、（2014年上海高考文11）若，则满足的的取值范围是 ．

答案：

25、（2015年上海高考文理7）方程的解为 ．
【答案】
【解析】设，则

【考点定位】解指对数不等式
26、（2015年上海高考问4）设为的反函数，则 ___________.
分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
答案：
27、（2015年上海高考理10）设为，的反函数，则的最大值为 ．
【答案】
28、（2016年上海高考理5）已知点在函数的图像上，则的反函数_____
分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
答案：

【考点定位】求反函数
29、（2017年上海高考理8）定义在上的函数的反函数为，若
为奇函数，则的解为
【答案】-8
【解析】，∴的解为

2、选择题
1、（2010年上海高考理17）若是方程的解，则属于区间 （ ）
A．(,1) B．(,) C．(,) D．(0,)
答案：C
2、（2010年上海高考文17）若是方程式 的解，则属于区间 （ ）
A．（0，1） B．（1，1.25） C．（1.25，1.75） D．（1.75，2）
答案：D
3、（2011年上海高考理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
答案：
4、（2011年上海高考文15）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
答案：
5、（2013年上海高考文15）函数的反函数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：

6、（2014年上海高考理18）设 若是的最小值，则的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、（2016年上海高考理18）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题
答案：

3、解答题
1、（2011年上海高考理20）已知函数，其中常数满足。
⑴ 若，判断函数的单调性；
⑵ 若，求时的取值范围。
解析：⑴ 当时，任意，则
∵ ，，
∴ ，函数在上是增函数。
当时，同理，函数在上是减函数。
⑵
当时，，则；
当时，，则.
2、（2011年上海高考文21）已知函数，其中常数满足。
⑴ 若，判断函数的单调性；[from:www.x 100.
⑵ 若，求时折取值范围。
解析：⑴ 当时，任意，则
∵ ，，
∴ ，函数在上是增函数。
当时，同理，函数在上是减函数。
⑵
当时，，则；
当时，，则.
3、（2012年上海高考理20文20）．已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，
求函数的反函数.
解析：（1）由，得.
由得.
因为，所以，.
由得.
（2）当xÎ[1,2 时，2-xÎ[0,1 ，因此
.
由单调性可得.
因为，所以所求反函数是，.
4、（2013年上海高考理20）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
解析： (1)根据题意，
又，可解得
(2)设利润为元，则
故时，元．
5、（2013年上海高考文20）甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．
（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；
（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．
解析：
（1）生产a千克该产品，所用的时间是小时
所获得的利润为100
所以生产a千克该产品所获得的利润为100a元
（2）生产900千克该产品，获得的利润为90000，
1≤x≤10,记ƒ（x）=
则ƒ（x）=
获得最大利润90000元。
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元。
6、（2009年上海高考理20文20）有时可用函数
描述学习某学 知识的掌握程度，其中表示某学 知识的学习次数（），表示对该学 知识的掌握程度，正实数与学 知识有关。
（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降； 学
（2） 根据经验，学 甲、乙、丙对应的的取值区间分别为,,。当学习某学 知识6次时，掌握程度是85 ，请确定相应的学 。
解析：（1）当
而当，函数单调递增，且>0
故单调递减
当，掌握程度的增长量总是下降
（2）由题意可知0.1+15ln=0.85
整理得
解得
由此可知，该学 是乙学
7、（2009年上海高考理22）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。
（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。
解析：（1）函数的反函数是
而其反函数为
故函数不满足“1和性质”
（2）设函数满足“2和性质”，

而得反函数
由“2和性质”定义可知=对恒成立
即所求一次函数为
（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，
故，可得，

令，则。，即。　　　
综上所述，，此时，其反函数就是，
而，故与互为反函数 .
8、（2010年上海高考理22）若实数、、满足，则称比远离.
（1）若比1远离0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
解析：(1) ；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；

9、（2010年上海高考文22）若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) , Î ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减， Î ．


10、（2014年上海高考文理20）
设常数，函数．
（1） 若，求函数的反函数；
（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

[解 ：
（1）因为，所以，得或，且．
因此，所求反函数为，．
（2）当时，，定义域为，故函数是偶函数；
当时，，定义域为，
，故函数为奇函数；
当且时，定义域为关于原点不对称，
故函数既不是奇函数，也不是偶函数．
11、（2015年上海高考理23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.
（1）验证是以为周期的余弦周期函数；
（2）设．证明对任意，存在，使得；
（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析 学优高考

（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得. 学优高考
若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.
（3）若为在上的解，则，且，
，即为方程在上的解.
同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.
以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在，使得，，，，，.

而，故.
类似地，当，，，时，有.
结论成立.
【考点定位】新定义问题
212、（2015年上海高考文20）（本题满分14分）已知函数，其中为常数，
（1） 根据的不同取值，判断的奇偶性，并说明理由；
（2） 若，判断在上的单调性，并说明理由。
分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查的知识点偏基础。
答案：（1）时，为奇函数；
时，非奇非偶。
（2）单调递增。

13、（2016年上海高考理22）已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
解：（1）由，得，解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的． 综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得． 故的取值范围为．

14、（2017年上海高考理21）设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.