2019届二轮复习（理）专题56古典概型学案（全国通用）
展开1.理解古典概型及其概率计算公式；
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2．古典概型的两个特点
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
高频考点一、 简单的古典概型的概率
【例1】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；学 ]
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.
解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型.
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.
∵事件包含的基本事件数m＝CC＝9.
∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，
因此，两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”.
又事件C包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有8个.∴P(C)＝＝，从而P()＝1－P(C)＝1－＝.
∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为.
【方法规律】计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.
【变式探究】 (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A. B. C. D.1
(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
答案 (1)B (2)
高频考点二 复杂的古典概型的概率
【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
【方法规律】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.
【变式探究】一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).
(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
(2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率.
解 基本事件总数为n＝C＝20，
(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝CC＋CC＝16，
∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝＝＝.
(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC＋CC＝9，
所以，小球编号最大值为4的概率P＝.
高频考点三 古典概型与统计的综合应用
【例3】 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为 kg；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为 .
答案 64.5
【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.
【变式探究】 某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.要从这6人中，随机选出2人参加一项技术比赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由已知得，样本均值为＝＝22，故优秀工人只有2人.
故所求概率为P＝＝＝，故选C.
答案 C
1．(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.故选C.
2. (2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D 学 ]
解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.
3.(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
1．(2016·全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
2．(2016·全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.
3．(2016·四川)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 ． . ]
答案
解析 从2,3,8,9中任取2个不同的数字，记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，∴P＝＝.
4.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
解析 甲被选中的概率为P＝＝＝.
答案 B
5.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 .
解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C，乙同学的选法种数为C，则两同学的选法种数为C·C，两同学各自所选水果相同的选法种数为C，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝＝.
答案
6.(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ]
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
1.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .
答案
