2019届二轮复习第13招遇到参数浑不怕留得导数在人间学案（江苏专用）
展开遇到参数浑不怕 留的导数在人间
利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想．本文将探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略．
策略一：分离变量法
所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法．
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也还是求最值，并且思路更清晰，操作性更强．
问题1：设函数，．若函数有零点，求实数的取值范围．
解：函数有零点， 即方程有解，
即有解．令，
当时， ．
因为，当且仅当即时取到等号．
所以函数在上是增函数，所以．
当时，．
因为，
所以函数在上是减函数，所以．
所以方程有解时．
即函数有零点时实数的取值范围是．
在上题中使用等号将参数与变量进行连接，得到参数的取值即为等式右侧的值域，转化为最值进行求解．下面问题2利用不等式进行连接．
问题2：已知函数．当时，恒有不等式成立，求实数的取值范围．
解: 当时，不等式等价于，即，
设，则．
令，得，时，单调减，时，单调增，
．
，所以实数的取值范围是．
一般地,以已知的范围，求的范围为例有以下结论：
1）恒成立
2）恒成立
3）
4）
问题3：已知函数，为自然对数的底数．
（1） 若存在实数，满足，求实数的取值范围；
（2） 若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
解：（1）由得．
当时，不等式显然不成立；
当时，；当时，.
记，，
令，解得，
∴ 在区间和上为增函数，和上为减函数．
∴ 当时，，当时，．
综上所述，所有的取值范围为．
（2） 由（1）知时，，由，得，
又在区间上单调递增，在上单调递减，且，
∴，即，∴.
当时，，由，得，
又在区间上单调递减，在上单调递增，且，
∴，解得.
综上所述，所有的取值范围为．
分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种．解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想，除了基础题目可以使用分离变量，很多压轴题也可以用这种方法去求解．
问题4：已知函数，其导函数为．
（1）设，若函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围；
解：（1）当时，，∴，
由题意对恒成立﹒
由，得，
令，则，令，得．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
从而当时，有最大值，
所以．
（2）当时，，由题意只有一解﹒
由，得，令，则，
令，得或．
当时，，单调递减，的取值范围为，
当时，，单调递增，的取值范围为，
当时，，单调递减，的取值范围为，
由题意，得或，从而或，
所以当或时，函数只有一个零点．
策略二：主次元变换法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化．
问题5：已知定义在上的函数若时，恒成立，求实数的取值范围.
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题．
解： ∵，∴等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是.
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为．
策略三、极值法
有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗．
问题6：已知函数，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解：设切点Q，
过
，
，
令，
求得：，方程有三个根．
需：
故：；因此所求实数的范围为：．
问题7：设函数．
（1）设，求函数在区间上的最大值；
（2）若存在，使得函数图象上有且仅有两个不同的点，且函数的图象在这两点处的两条切线都经过点，试求的取值范围．
解：（1）因为，所以．
令，得．
所以在上为增函数，在上为减函数；
所以，．由，
所以，所以的最大值为或者．
①当，即，．
②当，即时，．
综上，．
（2）设两切点的横坐标分别是，．则函数在这两点的切线的方程分别为
，
．
将代入两条切线方程，得
，
．
因为函数图象上有且仅有两个不同的切点，
所以方程有且仅有两个不相等的实数根．
整理得．
设，
则．
①当时，，所以单调递增，显然不成立．
②当时，令，解得或．
列表可判断单调性，可得当或时，取到极值，
分别为，或．
根据图像，当或时，
关于的方程有且仅有两个不相等的实根．
因为，所以或，解得又因为，所以．
上面的几题中，都是讲题中的数量转化为方程解的个数，最后转变为函数交点个数，通过导数对函数走向进行分析，从而求出变量取值范围．
策略四、零点的存在性定理
问题8：已知函数，其中是自然对数的底数，．
当时，求整数的所有值，使方程在上有解．
解：，设，．
令，．
令，解得或．
|
|
| |||
| 0 | 0 | |||
| 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
，，
，，
存在，时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
由零点的存在性定理可知：的根，，即．
策略五、构造新函数法
对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易．
问题9：已知函数.设，如果对任意，≥，求的取值范围．
解：不妨假设，求导得，而，知在单调减，从而，．
等价于，…… ①
令，则．
①等价于在单调减，即.
从而，设并设，
∴，∴．
故的取值范围为.
策略六、二次函数法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题．一般地，对于二次函数，有
1）对恒成立;
2）对恒成立
问题10：已知函数有两个极值点，，且．求实数的取值范围；
解：的定义域为，．
由题意可知，关于的方程有两个不相等的正根，
所以，解得．
策略七：利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围．
问题11：设．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
解：求导，在恒成立．由得值域[0，1]．在上的值域.
由条件，只须，∴.
导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究．在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法．在教学中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系统化．
