2019届二轮复习第10招快速解决离心率按部就班最稳妥学案（江苏专用）

快速解决离心率 按部就班最稳妥离心率以及离心率取值范围问题是江苏高考的热点考点，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活,很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳,力求达到见题即秒的效果.一、秒杀离心率问题所需秘笈,（1）直接求出a、c,利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.【例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点．若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于______.【答案】2【解析】解法一：由题意，从而有，又点为的中点，，所以所以，整理得，所以解法二：由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边中线，所以，所以解法三：设，则，由，解得所以，所以，即，所以【方法点睛】解决离心率的求值问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质和定义.（4）解析几何大题的方法算出e.【例题】已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是____.【答案】【解析】由得或所以在上，所以，解得【方法点睛】此题先方程联立，得出一个点，然后把这个点代入抛物线上，得出.二、秒杀离心率取值问题所需秘笈网Z,1、根据题目中给出的不等关系    根据平面图形几何条件中的不等关系，的范围，已知某些量的范围，圆锥曲线的第一和第二定义等得到之间的不等关系，从而确定离心率的范围.【例题】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_______.【答案】【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需，即，∴，解得，∴，即，而，∴，即.【方法点睛】本题关键在于根据几何条件表示出a,c之间的不等关系，然后得出离心率的范围，属于基本题.【例题】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设且，则双曲线离心率的取值范围        .【答案】【解析】设左焦点为，令，，则所以，即因为，所以所以即又因为于是得因为，所以故故【方法点睛】本题关键在于根据几何条件表示出离心率的等量关系式，然后根据角的范围得出离心率的范围. 2、根据椭圆或双曲线焦半径的范围来求离心率的范围第一步：先利用几何条件把焦半径表示出来；第二步：若椭圆则，若双曲线则.【例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】.【解析】设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以． 【方法点睛】本题先把表示出来，然后利用得出离心率范围，难度中等． 3、根据椭圆或双曲线中的范围来求离心率的范围第一步：同法二先利用几何条件把焦半径表示出来；第二步：若椭圆则，若双曲线则.【例题】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是        ．【答案】【解析】故【方法点睛】本题关键在于表示出交点P的横坐标，然后借助双曲线的自身的性质 得出答案.4、与离心率的范围有关的变式题【例题】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______.【答案】【解析】解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为，共同的半焦距为则，则在中应用余弦定理得化简得，即，问题要求的取值范围.设，则解法二：在中运用正弦定理得当且仅当时取得等号.