2019届二轮复习第9招定点问题的常见3种类型学案（江苏专用）
展开定点问题三种题
解析几何定点定值问题是江苏高考的热点考点，一般在高考解答题中出现，因计算要求较高，且处理的思路和方法比较灵活,很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳,力求达到见题即秒的效果.
一、圆过定点
【例题】设动直线与椭圆E：有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】由，得.
因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以且，
即，化简得.(*)
此时，，所以
由得．
假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在x轴上．
解法一：设，则对满足(*)式的、恒成立．
因为，，由，
得，
整理，得.(**)
由于(**)式对满足(*)式的，恒成立，所以,解得.
故存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
解法二：取，，此时，，以为直径的圆为，交轴于点，；
取，，此时，，以为直径的圆为，
交轴于点，．所以若符合条件的点存在，则的坐标必为．
以下证明就是满足条件的点：
因为的坐标为，所以，，
从而，
故恒有，即存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
解法三：由对称性可知设与
直线
（*）
（*）对恒成立， 得.
【方法点睛】“解法一”与“解法三” 若直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为（其中为参变量），由、确定定点坐标.
“解法二” 即为赋值法，通过特殊值先求出公共点坐标，然后证明该公共点为定点.
二、直线过定点
【例题】若直线与椭圆C：相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】
【解析】
设，由得，
，
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，
，，
，解得，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
【方法点睛】证明直线过定点，就是通过垂直寻找k与m两个参数之间的关系.即设出A、B点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，通过“设而不求”的方式建立k与m的函数关系，最后根据两个参数之间的函数关系，判断出定点.
三、平面过定点网Z,
【例题】已知圆：，点在直线上，过点作圆的两条切线，为两切点，
（1）求切线长的最小值，并求此时点的坐标；
（2）点为直线与直线的交点，若在平面内存在定点(不同于点，满足：对于圆 上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设点
=
故当，即时，
（2）由题：，
设，，满足
则
整理得：，对任意的点都成立，可得
解得 ，或（舍）
即点满足题意.
【方法点睛】由可得交点坐标，设，利用为一常数，建立等式，根据的任意性，即可求得结论.
