规范答题示范——立体几何解答题

【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

[信息提取]

❶看到要证结论(1)，联想到线面平行的判定定理；

❷看到线面角及所求二面角，想到建立坐标系，利用向量运算由线面角确定点M的位置，进而确定法向量求二面角的余弦值.

[规范解答]

(2)解　由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，

而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，

所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，

 [高考状元满分心得]

❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中BC∥AD，第(2)问中两向量的坐标.

❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出CE∥平面PAB证明过程中的三个条件，否则不得分；第(2)问中不写出公式cos〈n，m〉＝而得出余弦值则要扣1分.

[解题程序]

第一步：由平面几何性质及公理4得CE∥BF；

第二步：根据线面平行的判定定理，证CE∥平面PAB；

第三步：建立空间坐标系，写出相应向量的坐标；

第四步：由线面角，向量共线求点M，确定M的位置；

第五步：求两半平面的法向量，求二面角的余弦值；

第六步：检验反思，规范解题步骤.

【巩固提升】 如图，在梯形EFBC中，EC∥FB，EF⊥BF，BF＝EC＝4，EF＝2，A是BF的中点，AD⊥EC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED⊥平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点.

(1)当点M是EC的中点时，求证：BM∥平面AFED；

(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为时，求三棱锥E－BDM的体积.

(1)证明　取ED的中点N，连接MN，AN，

∵点M是EC的中点，∴MN∥DC，且MN＝DC，

而AB∥DC，AB＝DC，

∴MN綉AB，即四边形ABMN是平行四边形，

∴BM∥AN，又BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，

∴BM∥平面ADEF.

(2)解　因为AD⊥CD，AD⊥ED，平面AFED⊥平面ABCD，平面AFED∩平面ABCD＝AD，所以DA，DC，DE两两垂直.

以DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，M (0<t<4)，

则＝(2，2，0)，＝.

设面BDM的法向量n1＝(x，y，z)，则·n1＝2x＋2y＝0，且·n1＝ty＋z＝0，

令y＝－1，则n1＝，

平面ABF的法向量n2＝(1，0，0)，

∵|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

解得t＝2.

∴M(0，2，1)为EC的中点，S△DEM＝S△CDE＝2，点B到平面DEM的距离h＝2，

∴三棱锥E－BDM的体积VE－BDM＝VB－DEM＝S△DEM·h＝×2×2＝