2019届二轮复习高考热点链接数列学案（全国通用）

一．知识结构：

二、复习策略

1.等差、等比数列性质的综合、灵活应用是解决数列综合问题的关键，不仅要熟练的记忆而且要有应用意识。

2.涉及到函数、方程、不等式的综合问题。在解题过程中通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想。

3.数列的应用问题都有数列的共同特征，即变量为正整数，所以解决问题首先考虑能否把转化为等差、等比数列，不易发现由特殊归纳出一般思路，这样对解题有所帮助。

三、典例分析

1.等差数列与等比数列的交汇

例1（2018春•徐州期中）已知等差数列{an}中，a2=5，a4+a7=24，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=2，求b1+b2+b3+…+b10的值．

（2）∵bn=2=22n=4n，

∴b1+b2+b3+…+b10

=4+42+43+…+410

=

=．

2.数列的函数性质交汇

例2若数列中的最大项是第项，则=        .

【分析】：由于数列是特殊的函数，所以解决最值问题可以通过函数思想，一般是利用数列的单调性与涉及数列的图像，结合函数的性质求解。

【答案】4

【点评】：在数列中，若，则 最大；若，则最小。上面两个结论在求项的最值与和的最值中具有重要的意义。

3.数列与不等式交汇

例3（2018•黔东南州二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=（an﹣1），n∈N ．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=log2an，记数列{}的前n项和为Tn．证明：Tn．

【解析】（ I）解：当n=1时，有，解得a1=4．

当n≥2时，有Sn﹣1=（an﹣1﹣1），

则，

整理得：an=4an﹣1，

∴数列{an}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列．

∴

即数列{an}的通项公式为：．   

（ II）证明：由（ I）有，则

，

∴Tn=+……+=，

故得证．

【点评】：数列求和的常用方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法，其中裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的裂项有：（1）；（2）；（3）

4存在性与探索性

例4（1）已知两个等比数列，，满足，若数列唯一，求的值；

（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为0的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由.

【分析】：根据已知条件列出关于a、q的方程，根据判别式是否大于0进行判断，由{an}唯一，知方程必有一根为0，得到q的情况。第二问先假设结论成立，进行推论求解。

（2）假设存在两个等比数列使成公差不为0的等差数列，设的公差为的公比为。

则，

由成等差数列得：

即

①②得：

由

ⅰ)当，这时与公差不为0矛盾；

ⅱ)当与公差不为0矛盾；

综上所述，不存在两个等比数列，使得成公差不为0的等差数列

【点评】：探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．

必刷题：

1．     已知数列的前项和为，满足．

（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出；

（Ⅱ）设，求的最大项．

【解析】（Ⅰ）由.

由可得，两式相减得

，，

是首项为，公比为的等比数列，

 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

 由,

 由得，所以.

故的最大项为．

2 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且 ().

（1） 求数列，的通项公式；

（2） 记,求证：.

∴数列{bn}是等比数列，

∴  ( )        …………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知    …………10分

∴

∴    …………………………12分

3. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）令求数列的前项和．

（2）由于由（1）得　又，是等差数列．

故．

4. 已知，数列的首项

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求使的最小正整数n。

【解析】：（Ⅰ），，.

数列是以1为首项，4为公差的等差数列．………………………… 3分

，则数列的通项公式为．…………………6分

（Ⅱ）  ……………………①

    ……………………②

②①并化简得．………………………………10分

易见为的增函数，，即．

满足此式的最小正整数．…………………………………12分

5.已知等差数列{an}的首项a1 =4,  且a2＋a7＋a12＝－6.

（I）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； 

（II）将数列{an}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三项,记{bn}的前n项和为Tn, 若存在m∈, 使对任意n∈总有Tn＜Sm＋λ恒成立, 求实数λ的最小值.

【解析】（I）由得，又，，

，从而

故.

若存在, 使对任意总有

则，得，∴的最小值为.

6. 已知公差不为零的等差数列的前四项和为14，且成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）符号表示不超过实数的最大整数，记，为数列{}的前n项和，求.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

………………………………… 5’

表示不超过的最大整数，当时，……………………………..7’

   ……………………..10’

             ①

  ②

①-②得：

……………………………………….11’

…………………………………………14’