2019届二轮复习方程与根学案（全国通用）
展开第四讲 方程与根
一、知识方法拓展
1. 函数零点定义：
对于函数,使的实数x我们称为函数的零点。
结论：如果函数在区间上的图象是一条连续的曲线，并且有，那么，函数在区间 内存在零点，即存在，使得，这个也是方程的根。
函数零点的判断方法：
①方程法：解方程，得函数的零点。
②图象法：画出函数的图象，其图象与x轴交点的横坐标是的零点。
③定义法：函数在区间上图象是一条连续的曲线，并且有，至少有一个零点。
2. 高次方程韦达定理
①三次方程韦达定理
设三次方程的三个根为,那么
②如果一元次多项式的根为,那么
以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元n次方程可直接求方程的根。
3. 整系数多项式
设，若，则称为的根（或零点）；又若是的重因式，则称为的k重根，当时，称为的单根。
代数基本定理： 任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。
根的个数定理： 任意一个次多项式的复数根的个数（依重数累加）恰有个，依次定理可知任何一个可以分解为，其中，为两两不同的复数，，且。这是多项式在复数范围内的标准分解式。
虚根成对定理：设为的复根，即，则，于是也是的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出现。
实系数多项式分解定理：设,则可分解为，其中且。
整系数多项式的有理根： 设是的有理根，则，并且可写，其中。
依上述定理可知，若，的首项系数为1，则的有理根都是整数根。
二、热身训练
1.函数的零点个数为 ( )
A. 3 B. 2 C． 1 D． 0
【答案】
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选。
2.若方程有两个不等实根，则实数P的取值范围是 （ ）
A. P≤0 B. P＜ C. 0≤P＜ D. P≥
【答案】C
【解析】二次方程有两个不等的非零实数根。即
3. 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
三、真题精讲
1. （2012年北约）求的实数的个数。
【解析】本题利用配方的思想来解决的，通过观察我们不难发现两个无理式中都含有，因此我们就可以围绕这一项进行配方，于是得到
，所以原方程无实数解。
2.（2008年交大）设，如果方程无实根，则 （ ）
A. 无实根 B. 有1个实根 C. 有2个实根 D. 有4个实根
【答案】A
【解析】法一： 无实数根，那么
；
又因为 ．则
．
．
．
．
因此，有或．
；
。
所以均不存在实数根。
法二：如果，那么，
所以；
如果，那么，
则；
因此没有实数根。
3. 设为方程之根，则和的值分别为 。
【解析】由原方程，等式两边立方得，。以代入将其转变为，则新方程的各根等价于原方程各根的立方，由新方程的根与系数关系的
4.（2008年复旦） 设方程的三个根为，则行列式 。
【解析】设方程的三个根为，从而得到。本题利用三次方程转化得到的三阶行列式进行求值，可以利用三次方程的韦达定理解决。
5. 设是方程的三个根，求的值。
【解析】因为三次方程没有项，所以它的所有根之和为0，即。故。由于为方程的根，故，对于和也有同样的式子，因此有。故
。因此
。
四、重点总结
- 掌握判断函数零点的常用方法：方程法，图像法，定理法。注意在给定区间内函数零点个数可能大于1个。
- 对于解无理方程，需要注意利用配方法，换元法，倒数法以及根据函数单调性去解方程。
- 关于三次方程或者高次方程，巧妙利用韦达定理，不同方程可以利用换元将根转化，便于解方程。
五、强化训练
(A组)
1.方程的实数解为
【解析】利用换元思想，设代入原方程
2. 方程组共有 组实数解。
【解析】由得，且可以变形为，令，，则或，进一步求得，，，。所以方程组共有4组实数解。
3. 已知方程，其中两个满足条件，则此方程的根为 。
【解析】，则方程的根为原方程各根的倒数，即方程有二根满足条件。设其另一根为，由根与系数的关系得，。由此得且。又由根与系数的关系知为方程的根，解之得的值为。故原方程的根为。
4. 求一切实数P，使得三次方程的三个根均为自然数。
【解析】因为为原方程的根，原问题等价于 ＊的两个根均为自然数。设是方程＊的两个根，则，消去参数P，得。。。显然，是的模5同余于4的正因子，即或229，即或，因此，
5. 解方程：
【解析】两边取以2为底的对数得：
即：
构造函数：
所以：
易得是奇函数，且是R上的增函数，
所以：
解得：
经检验，为原方程的根。
此题较繁琐，既有无理式，又有指数式，但解题关键在于转化为对数方程的过程，构造函数是关键。
总结：此题关键在于等式右端的处理，我们需要将自变量从指数位置上“搬下来”，所以两边取对数，转化为对数方程，然后利用函数的单调性，转化为整式方程。
6. 试求多项式 ① 的有理根
【解析】利用换元法，令，代入①得
现分析函数
的有理根，得到没有正根。利用韦达定理可得：是其全部有理根。所以的有理根为。
7. 已知为方程的根，则的值为
。
【解析】。故方程的根为。因此方程的。运用此方程经简单运算可得
8. 解方程：。
【解析】原方程化为，即，构造函数，原方程等价于。而依据函数的单调性，可知是R上的单调递增函数，于是又，为原方程的解。
（B组）
1.已知多项式的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相反，试求的有理数根。
【解析】设的四个根为，以代既得
的根。于是，有公共根。
因 ，
显然 ，再将去除得
无实根，故多项式的有理根是。
2. 在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。
A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5
【答案】C
【解析】令，原方程化为 ①
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
或
点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为
3. 已知实数满足：，，。求实数的取值范围。
【解析】令。由得，代入，得 ①
方程①有实数根，所以，解得：。
由①及可得：。
又， 所以，即，解得.
综合可知：，从而，
因此，所求实数的取值范围是。
4.设方程 的根都是正数。当时，试求的最大值。
【解析】设方程的根为，依题意设
由韦达定理，得 ①
②
因，故由②可得
③
把①代入②得
④
因，故
⑤
由①，④，⑤得
解得
当且仅当 时，
