2019届二轮复习两角和与差的余弦、正弦和正切学案（全国通用）
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余弦公式
正弦公式
正切公式
辅助角公式
一、两角和与差的余弦公式
（一）知识精讲
在三角比的计算和化简中，常要用角的三角比来表示角或角的三角比．
设和是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x轴的正方向重合，它们的终边OA，OB分别与单位圆交于A、B两点（如图1）．A、B的坐标分别为．
下面考虑的三角比，把角的终边OA，OB都绕O旋转角，分别转到'，OB'的位置（如图2），由于OA'转过了角，所以．点A'的坐标是，点B'的坐标．
根据两点间的距离公式，在图1中，有
在图2中，有
因为绕O旋转角得，所以
从而得到：
，
所以
它对任意角和都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式．
如果用代替，则可以得到两角和的余弦公式：
【注】一般地，，．
（二）典型例题
【例1】_______，_______．
【难度】★
【答案】．
【例2】______．________．
【难度】★
【答案】；．
【例3】若_______．
【难度】★
【答案】
【例4】在，则此三角形一定是______三角形．
【难度】★★
【答案】钝角
【例5】将角的终边绕顶点顺时针旋转，就成了角的终边，终边上有点，那么为_____．
【难度】★
【答案】
【例6】已知、为锐角，且，求．
【难度】★★
【答案】
【例7】_______．
【难度】★★★
【提示】
【答案】
【巩固练习】
1．______，_______．
【难度】★
【答案】，．
2．_______，_______．
【难度】★
【答案】，．
3．若，且，则______．
【难度】★★
【答案】
4．中，，则______．
【难度】★★
【答案】
5．已知点，若将OM绕原点顺时针转得到OM'，则点M'的坐标为___________．
【难度】★★
【答案】
6．设，且都是锐角，则______．
【难度】★★
【答案】
7．已知，则的取值范围是____________．
【难度】★★★
【答案】
8．，其中为任意角，求u的取值范围．
【难度】★★★
【答案】
二、两角和与差的正弦公式
（一）知识精讲
即
把换成，得两角差的正弦公式：
（二）典型例题
【例8】______
________
_______
________
【难度】★
【答案】；；；．
【例9】化简_______．
求值：_____．
【难度】★
【答案】；．
【例10】（1）已知，则_______．
（2）已知，则的值为______．
【难度】★
【答案】；．
【例11】，均为锐角，则_______．
【难度】★
【答案】
【例12】已知，求的值．
【难度】★★
【答案】
【例13】若中的角A、B满足，则此三角形是_____三角形．
【难度】★★
【答案】等腰直角
【例14】在中，已知，则的值为______．
【难度】★★
【答案】
【例15】已知，那么_______．
【难度】★★★
【提示】
【答案】5
【巩固练习】
1．_______；
_______；
_______．
【难度】★
【答案】0，；；．
2．化简______．
【难度】★
【答案】
3．求值：______．
【难度】★
【答案】
4．已知，则的值为_______．
已知，则的值为______．
【难度】★
【答案】；．
5．已知，且，求的值．
【难度】★★
【答案】
6．在中，，那么一定是______三角形．
【难度】★★
【答案】等腰
7．在中，已知，则的值为______．
【难度】★★
【答案】
三、两角和与差的正切公式
（一）、知识精讲
把最后一个分式的分子分母同除以，化简得：
同理可得
（二）典型例题
【例16】______．
【难度】★
【答案】
【例17】已知，则_______．
若，则的值为_______．
【难度】★
【答案】1；2
【例18】若，则______．
，则______．
，则的值为_______．
【难度】★
【答案】；；
【例19】设，且，则______．
【难度】★
【答案】
【例20】已知，且，求的值．
【难度】★★
【答案】
【例21】已知，则的值为_______．
【难度】★★
【答案】
【例22】已知，求的值．
【难度】★★★
【提示】令．
【答案】
【巩固训练】
1．若，则的值是______．
【难度】★
【答案】
2．求值______．
【难度】★
【答案】
3．_______．
【难度】★★
【答案】
4．已知，且是第二象限角，则______．
【难度】★★
【答案】
5．已知，则的值为_____．
【难度】★★
【答案】
6．设，则______．
【难度】★★
【答案】
7．设且，则______．
【难度】★★
【答案】
8．已知，求的值．
【难度】★★
【答案】
9．已知，则的值为______．
【难度】★★★
【答案】
四、辅助角公式
（一）、知识精讲
，
可设，所以
即
其中通常取，由确定．
同学可尝试设进行化简．
（二）典型例题
【例23】将化为的形式是______．
将化为的形式是______．
将化为的形式是______．
【难度】★
【答案】；；．
【例24】已知，则_____．
【难度】★
【答案】
【例25】已知，则_____．
【难度】★
【答案】
【例26】下列关系式中，角存在的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B
【例27】的最大值为_______．
【难度】★★
【答案】
【例28】已知，求m的取值范围．
【难度】★★★
【提示】把分母乘到左边，利用辅助角公式求解．
【答案】
【巩固训练】
1．将化为的形式是______．
将化为的形式是______．
【难度】★
【答案】；．
2．已知，则______．
【难度】★
【答案】
3．若，则______．
【难度】★
【答案】
4．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】B
5．求值_______．
【难度】★
【答案】
6．若，则的最大值为______．
【难度】★★
【答案】
7．求的值．
【难度】★★
【答案】
8．使方程有解的k的取值范围是___________________．
【难度】★★★
【答案】
公式联系记忆：
使用公式的时候注意把什么看成，什么看成，初学需要圈注一下．
利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察．
1．计算_______；________．
【难度】★
【答案】；
2．化简_____；
_______；
______．
【难度】★
【答案】；；1．
3．在中，，则______．
【难度】★★
【答案】
4．，则______．
【难度】★
【答案】
5．已知，且，求的值．
【难度】★★
【答案】
6．已知_______．
【难度】★★
【答案】
7．求值：_______．
【难度】★
【答案】
8．若，则=________．
【难度】★★
【答案】
9．已知、为锐角，且，求的值．
【难度】★★
【答案】
10．已知，且为第三象限角，则的值为______．
【难度】★★
【答案】
11．若，则_______．
【难度】★
【答案】
12．若，则_______．
【难度】★
【答案】
13．=_______．
【难度】★★
【答案】
14．则_______．
【难度】★★
【答案】
15．的值是_________．
【难度】★★
【答案】
16．中，，则的形状为_______．
【难度】★★
【答案】锐角三角形
17．（1）证明：．
（2）由（1）能想象出更一般的结论吗？试证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】（2）
