2019届二轮复习函数及其性质学案（全国通用）

解密03 函数及其性质

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
函数的定义域与值域
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.学
本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质.
2016江苏5 学
★★ . . .
分段函数
2017课标全国Ⅲ15
★★★
函数的图象
2018课标全国Ⅱ3
2018课标全国Ⅲ7
2016课标全国Ⅰ7
2016课标全国Ⅱ12
★★★
函数的性质
2018课标全国Ⅱ11
2017课标全国Ⅰ5
2015课标全国Ⅰ13
★★★★
指数函数、对数函数、幂函数
2018课标全国Ⅲ 12
2017课标全国Ⅰ11
2016课标全国Ⅲ6
★★★★

考点1 函数的定义域与值域
题组一 求函数的定义域
调研1 函数y=+的定义域为
A．[0，3 B．[1，3
C．[3，+∞ D．（1，3
【答案】D
【解析】要使原函数有意义，需满足，解得1 调研2 已知函数的定义域是，则的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】D

☆技巧点拨☆
求函数的定义域
求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．
对于抽象函数，
（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b ，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
（2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b ，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b 时的值域．

题组二 求函数的值域
调研3 函数在上的值域为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知函数为奇函数，当x∈时，在（0，2）上单调递减，在[2，4 上单调递增，最小值为=4，故4，
根据奇函数的对称性可知，在上的值域为．
调研4 函数的最大值为,最小值为,则
A．2 B．3
C．6 D．12
【答案】C
【解析】函数的定义域为,得,得,则时，y取得最大值或时,取得最小值.
故,故选C．

☆技巧点拨☆
求函数值域的常用方法
求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域；
⑤利用常见函数的值域；
⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域；
⑦单调性法；
⑧基本不等式法；
⑨判别式法；
⑩导数法.

题组三 由函数的值域求参
调研5 设函数的值域为，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a,所以则.
考点2 分段函数
题组一 求函数值
调研1 若函数,则函数的值域是_____________.
【答案】

题组二 由函数值求参
调研2 设函数，若，则__________．
【答案】-3或-2
【解析】由题意得，故可得．
①当时，可得，即，解得或（舍去）．
②当时，可得，即，解得或（舍去）．
综上，可得或．

☆技巧点拨☆
解决分段函数问题的注意事项
分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.

考点3 函数的图象
题组一 函数图象的辨识
调研1 已知函数，则函数的大致图象为

A B

C D
【答案】B
【解析】当x>0时，，故排除C，D；
令，则，排除A，则选B．

☆技巧点拨☆
函数图象的识别与判断技巧
1．方法1：特殊点法
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．
2．方法2：性质检验法
已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．学=
3．方法3：导数法
判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．方法4：图象变换法
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．

题组二 函数图象的应用
调研2 已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知函数的图象关于轴对称,则函数为偶函数,故排除选项B,
又,故排除选项D,
又,故排除选项C.故选A．
考点4 函数的性质
题组一 函数的单调性
调研1 函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C

调研2 已知函数=是上的减函数,那么的取值范围是
A．(0,3) B．
C．(0,2) D．
【答案】D
【解析】∵为上的减函数，∴时，单调递减，即，则；
时，单调递减，即,
且,即.
综上，的取值范围是,故选D.
题组二 函数的奇偶性和周期性
调研3 已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝
A．1 B．－1
C．－ D．
【答案】B
【解析】由题意得f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(＋1)＋b，∴b＝，
∴log2 ＝－1.故选B．
调研4 已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0,2 时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2015)＝
A．－2 B．
C．2 D．5
【答案】A
【解析】因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，f(1)＝21＋log21=2，∴f(2015)＝f(-1)＝－f(1)＝－2，故选A．
题组三 函数性质的综合应用
调研5 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为奇函数在上单调递减,且,所以函数在上单调递减,且,
由得或,解得或,即不等式的解集为.故填.
调研6 函数y＝f(x)在区间[0,2 上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是
A．f(1) C．f() 【答案】B
【解析】因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，
又因为函数y＝f(x)在区间[0,2 上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4 上单调递减．
因为f(1)＝f(3)，>3>，所以f()
☆技巧点拨☆
将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：
1．判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
2．函数的奇偶性
(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．

考点5 指数函数、对数函数、幂函数
题组一 指数函数
调研1 已知函数的定义域和值域都是,则          .
【答案】4

题组二 对数函数
调研2 已知,则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,即.
又=,所以.选B．
题组三 幂函数与二次函数
调研3 已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________．
【答案】1
【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.
调研4 已知（）.
（1）若，且的解集为，求函数的解析式；
（2）若关于x的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由的解集为可知且.
则.
（2）的解集为R.
当时，满足题意；
当时，由.
综上，.

☆技巧点拨☆
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．


1．（陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试数学试题）已知函数，则等于
A．8 B．10
C．6 D．
【答案】C
【解析】，，，故选C.
2．（【校级联考】浙北四校2019届高三12月模拟考数学试题）若，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵logm2＜logn2＜0，
∴＜＜0，
∴lgn＜lgm＜0，
可得n＜m＜1．
故选：C．
3．（【市级联考】湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考数学）若为奇函数，则满足的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B

4．（【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第五次调研考试数学试题）“函数在上单调递增”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则对称轴，所以在上单调递增，取，则对称轴，在上单调递增，但，所以“在上单调递增”是“ ”的必要不充分条件.
5．（【省级联考】2018年11月29日广东省百校联考数学）已知函数，则
A．在上单调递增
B．在上的最大值为
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】B

6．（【全国百强校】甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学试题）函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选：D.
【名师点睛】识图常用的方法：
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
7．（【校级联考】广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题）已知是定义域为的奇函数，满足,若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），
即f（x+2）=﹣f（x），
进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
f（x）是周期为4的函数，
若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）
=504×0+2+0=2．
故选：B．
8．（山东省日照一中2019届高三11月统考考前模拟数学试题）已知函数的定义域为，，对任意R都有，则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，且，
得，
，
，
，故选B.
【名师点睛】本题考查数列与函数问题的综合应用，主要考查裂项相消法求和，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
9．（【全国百强校】江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】由题意得>0,所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
10．（四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数则_____________.
【答案】0
【解析】已知函数,所以f(2)=2, f(1)=2,所以f(2)−f(1)=0，故答案为:0.
11．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数，，则的值为_____________.
【答案】
【解析】设，
则
，
∴函数为奇函数．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
12．（【校级联考】广东省百校联考2019届高三高考模拟数学试题）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时， （为常数），则____________．
【答案】
【解析】由为定义在上的奇函数可知，已知 ，
所以，得，
所以，
于是．
13．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）∵是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∴．
经验证可得函数为奇函数，
∴，．
（2）由（1）知，
∴在上为减函数．
∵,
∴，
又是奇函数，
∴，
又为减函数，
∴对任意的恒成立．
∴对任意的恒成立．
令，
则,
解得.
∴实数的取值范围为．
【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求参数的取值范围时，一般根据定义得到关于变量的恒等式，然后通过比较系数可得所求参数．也可根据题意利用取特殊值的方法求解，但求出参数的值后必须进行验证．
（2）解决一元二次不等式的恒成立问题时，可通过二次函数求最值解决，也可通过分离参数后再求最值，也可通过构造函数、利用二次方程根的分布求解．解题时注意要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
14．（上海市2018−2019学年杨浦区统考高三上学期数学期中考试）已知函数.
（1）当时，求该函数的定义域；
（2）当时，如果对任何都成立，求实数的取值范围；
（3）若，将函数的图象沿轴方向平移，得到一个偶函数的图象，设函数的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为1.
【解析】（1）a=−1时，f（x）=log2（ax2+2x−a）=log2（−x2+2x+1），
解−x2+2x+1＞0得 ，
所以函数的定义域为.
（2） 当a≤0时，f（x）≥1即log2（ax2+2x−a）≥1，
即ax2+2x−a−2≥0对任何x∈[2，3 都成立，
则 ，
令，因为当x∈[2，3 时是单调递增函数，
所以.
所以，又因为.
所以a的取值范围为.

因为此时，解得.
所以.
即的最小值为1.

1．（2018年高考新课标II卷理 ）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B

【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．（2018年高考新课标III卷理 ）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数过定点，排除A，B，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除C，故选D.
【名师点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
3．（2018年高考新课标I卷理 ）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，
故选D．
【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
4．（2018年高考新课标II卷理 ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
因为，从而，故选C．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
5．（2018年高考新课标Ⅲ卷理 ）设，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，,即，又，，∴，故选B．
6．（2016新课标全国III理 ）已知，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．
7．（2017新课标全国Ⅰ理 ）设x、y、 为正数，且，则
A．2x<3y<5 B．5 <2x<3y
C．3y<5 <2x D．3y<2x<5
【答案】D
【解析】令，则，，
∴，则，
，则，故选D．
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
8．（2016新课标全国Ⅰ理 ）若，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
9．（2017新课标全国Ⅰ理 ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D

【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立.
10．（2016新课标全国Ⅰ理 ）函数y=2x2–e x 在[–2,2 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数f(x)=2x2–e x 在[–2,2 上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D．
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
11．(2015新课标全国Ⅰ理 )若函数f(x)=为偶函数，则a=_______________.
【答案】1
【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.学=
【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值的问题，常用特殊值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f(x)=0求参数,否则用其他特殊值，利用特殊值法可以减少运算量.
12．（2017新课标全国Ⅲ理 ）设函数则满足的x的取值范围是 .
【答案】