2019届二轮复习函数图象与方程学案（江苏专用）

2019届二轮复习  函数图象与方程   学案 （江苏专用）

【三年高考】

1.【2018江苏，理11】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为  ▲  ．

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

2.【2017江苏，理14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上,其中集合，则方程的解的个数是   ▲   .

【答案】8

【考点】函数与方程     

3.【2015江苏，理13】已知函数，，则方程实根的个数为        

【答案】4

【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点

【考点定位】函数与方程

【2019年高考命题预测】

高考试题，对函数图象与方程这部分的考查，主要以基本初等函数或者基本初等函数经过四则运算后的函数为背景，考查图象的变换或者根据函数解析式，通过考察函数的性质来判断函数图象；其次是方程的根或函数零点的问题.从近几年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.

所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理，预测2018年仍然会有函数图象与方程的题目出现，而且会加大对函数图象和性质的考查力度，同们在复习时要多加注意，多总结多质疑．预测2018年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．

【2019年高考考点定位】+ + ]

高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布.  

【考点1】作函数图象

【备考知识梳理】

（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.

（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.

　  的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.

的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去.

的图象关于对称；的图象关于点对称.

的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.

(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象

【规律方法技巧】

画函数图象的方法

(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；

(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

【考点针对训练】

1.已知函数.若，且，则的取值范围是         .

【答案】(3，＋∞)

2．函数和在同一直角坐标系下的图像大致是下列图象中的　　　．

【答案】（D）

【考点2】识图与辨图

【备考知识梳理】

1．通过分析函数解析式特征，定性研究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象．

2. 根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数．     

【规律方法技巧】

2. 识图常用方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

【考点针对训练】

1..函数的大致图象为

【答案】①

【解析】令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项③,④;当时，，排除选项②；所以选①.

2．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数的图象的是　　　　．

【答案】A

【解析】首先注意到函数是偶函数，所以其图象关于y轴对称，因此排除B和D，再当x=5时，y=25-52=7>0,故排除C，从而选A．

【考点3】判断方程根的个数有关问题

【备考知识梳理】

方程的根的个数等价于函数的图象与轴的交点个数，若函数的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题．

【规律方法技巧】

函数零点个数的判断方法．

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【考点针对训练】

1.设是定义在上的奇函数，且，设 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是              

【答案】

【解析】

2．设函数，函数，则方程实数根的个数是             个.

【答案】2

【考点4】与方程根有关问题

【备考知识梳理】

（１）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．

　（２）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得f (c) = 0，这个c也就是方程f (x) = 0的根

【规律方法技巧】

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

【考点针对训练】

1.已知函数，关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的范围为        .

【答案】   ]

2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于                   .

【答案】6

【解析】函数的图像关于直线x=1对称，函数的图像也关于直线x=1对称，画出图像，

两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6．

【两年模拟详解析】

1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数试题】已知函数满足，当时，，若函数恰有个零点，则的取值范围是          ．

【答案】.     

【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.

详解：

，

故答案为.

点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

2．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质 ，则实数的取值范围为          .

【答案】

【解析】分析：将题意转化为在R上有三个不同的实数根.，设，由导数与函数单调性的关系，大致判断的单调性，由大致图象即可求出.

点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．

（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.

3．【江苏省盐城中2018届高三考前热身2数试卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为    ．

【答案】.      

【解析】试题分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．

详解：

函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，

就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，

点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．

详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：

，

点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．     

5．【江苏省海门中2018届高三5月考试（最后一卷）数试题】已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是      .

【答案】.

点睛：函数零点的求解与判断方法：

 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

6．【江苏省扬州树人校2018届高三模拟考试（四）数试题】已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是          ．

【答案】.     

设，

则函数在区间上有两个不同的零点，

∴，解得．

∴实数的取值范围是．

点睛：（1）用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解．

（2）对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式（组），通过解不等式（组）可得所求．   ]

7．【江苏省扬州树人校2018届高三模拟考试（四）数试题】已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为          ．

【答案】.

点睛：应用基本不等式求最值时，一定要满足不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”，若题目中不满足使用基本不等式的条件，则需要通过“拆”、“拼”、“凑”等手段进行变形，以得到能使用不等式的条件，然后再利用不等式．

8．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数试题】已知为自然对数的底数．若存在，使得函数在上存在零点，则的取值范围为         ．

【答案】

【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.

详解:由题得存在，使得函数在上存在零点，

所以存在,使得,所以,

令直线y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，    ]

当直线y=ax+b过点（1，e）,(0,-3e)时，此时a最大，此时b=-3e,a=4e，

所以a≤4e.

点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.      

9．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数】已知，若函数且有且只有五个零点，则的取值范围是          ．

【答案】

【解析】由题意可知，是的一个零点，

当式，由可得：

令，则

当时，，当时，

在上单调递增，在上单调递减

，且当时，，当时，

同一坐标系中作出和的图象

由图可知，有且只有五个零点需满足

则的取值范围是

点睛：本题考查了函数的零点问题，先求出一个零点，然后分离含参量，转化为两个函数的交点问题，利用导数求出函数的单调性，画出函数图像，数形结合，求出有四个交点的情况，即最值问题。本题较为综合，有一定难度。

10．【江苏省姜堰、溧阳、前黄中2018届高三4月联考数试题】若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是    .

【答案】

=4+2，

∴4＜2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＜8+2．

故答案是：（4，8+2）．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【一年原创真预测】    ]

1.已知函数是定义域为，且关于对称. 当时， ，若关于的方程 （），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是                    .

【答案】

【解析】作出的图象如下，

又∵函数关于对称，所以函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且关于x的方程，a∈R有且仅有6个不同实数根，等价于或，a∈R共有且仅有6个不同实数根；而方程由偶函数的对称性可知，有四个不同的实数根，所以必须且只需方程，a∈R有且仅有2个不同实数根，由图可知或；故．

【入选理由】本题主要考查函数零点与方程根之间的关系，以及零点判定定理的应用,体现了分类讨论和数形结合的数思想,意在考查生的分析和计算能力.函数零点，方程的根是高考考查的重点与难点，故选此题.   

2.已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为                .

【答案】

【解析】当时，，当时，，故，所以只需要即

【入选理由】本题主要考查函数的性质、方程的根等基础知识，意在考查生转化与化归能力.将方程的根转化为函数的值域问题，此题构思较好，难度不大，故选此题．

3. 已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为          .

【答案】     

，代入，得，解得，此时；所以直线与的图像有三个交点，则. ！

【入选理由】本题考查转化与化归、数形结合的思想方法，将方程恰有3个不同的实数根转化为两个函数与的图象有3个交点.，意在考查数形结合的数思想,生的分析和计算能力.给出方程的根的个数，求参数的范围，像这一类题比较少见，故选此题.