2019届二轮复习基本初等函数学案（江苏专用）
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2019届二轮复习 基本初等函数 学案 （江苏专用）
【三年高考】
【2018江苏，理5】函数的定义域为 ▲ ．
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
【2017江苏，理11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
【答案】
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
【2016江苏，理5】函数y=的定义域是 .
【答案】
【解析】
试题分析：要使函数式有意义，必有，即，解得．故答案应填：
【考点】函数定义域
【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起.
【2019年高考命题预测】
纵观高考试题，对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以填空的形式考查.幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2019年会继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察生对函数概念和性质的理解.
【2019年高考考点定位】+ + ]
高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.
【考点1】指数值、对数值的比较大小 , , ]
【备考知识梳理】
指数函数，当时，指数函数在单调递增；当时，指数函数在单调递减.
对数函数，当时，对数函数在单调递增；当时，对数函数在单调递减.
幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.
【规律方法技巧】
指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.
【考点针对训练】
1.设则a，b，c的大小关系是 .
【答案】
2.设，且，则的大小关系是 ．
【答案】
【解析】∵，，∴，∴指数函数为减函数，∴．
【考点2】指数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
y＝ax | a>1 | 0<a<1 |
图像 | ||
定义域 | R | |
值域 | (0，＋∞) | |
性质 | 当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1 | 当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 |
过定点(0,1) | 在(－∞，＋∞)上是增函数 | 在(－∞，＋∞)上是减函数 |
【规律方法技巧】
1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.
2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
【考点针对训练】
1.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
2．函数在上恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】（，+∞）
【解析】由题意得，令，则，因此，从而
【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
1．对数的定义
如果，那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数的性质与运算及换底公式
(1)对数的性质：
①；②；③
(2)对数的换底公式
基本公式 (a，c均大于0且不等于1，b>0)．
(3)对数的运算法则：
如果，，那么
①，
②，
③ ()．
3．对数函数的图像与性质
| a>1 | 0<a<1 |
图像 | ||
定义域 | (0，＋∞) | |
值域 | R | |
定点 | 过点(1,0) | |
单调性 | 在(0，＋∞)上是增函数 | 在(0，＋∞)上是减函数 |
函数值 | 当0<x<1，y<0 | 当x>1时，y>0； |
正负 | 当0<x<1时，y>0 | 当x>1时，y<0； |
【规律方法技巧】
1、 研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.
2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
【考点针对训练】
1.若，且，则 .
【答案】2
∴.
2.已知函数（）的图像如图所示，则的值是 ．
【答案】
【解析】由题意得
【考点4】二次函数的图象和性质
【备考知识梳理】
二次函数的图象和性质
解析式 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) | f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) |
图象 | ||
定义域 | (－∞，＋∞) | (－∞，＋∞) |
值域 | ||
单调性 | 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 | 在x∈上单调递减在x∈上单调递增 |
对称性 | 函数的图象关于x＝－对称 | |
【规律方法技巧】
1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.
【考点针对训练】
1．在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． ]
【答案】
【解析】由二次函数图像知：当时，，即；当时，，即；综上实数的取值范围是
2．已知， 若 且（a,b,c），则实数的取值范围是 ．
【答案】
【考点5】幂函数的图象和性质
【备考知识梳理】
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
特征 函数 性质 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 | ||
定义域 | R | R | R | [0，＋∞) | {x|x∈R且x≠0} |
值域 | R | [0，＋∞) | R | [0，＋∞) | {y|y∈R且y≠0} |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶函数 | 奇函数 |
单调性 | 增 | x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 | 增 | 增 | x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 |
【规律方法技巧】
1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【考点针对训练】
1.已知幂函数图像过点，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【解析】设幂函数的解析式为因为幂函数图像过点，所以，所以该幂函数的解析式为．
2.设幂函数的图象经过点，则 .
【答案】
【两年模拟详解析】
1. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数与函数的图象共有（）个公共点：， ，… ，，则 ．
【答案】2
【解析】函数与函数的图象都关于对称，共有2个公共点：所以
2. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设函数在是定义在上的周期为的奇函数，若，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】由题设可得，因，故，即，解之得，故答案为：．
3. 【云南师大附中2017届高考适应性月考（八）】若偶函数在上单调递减， ， ， ，则的大小关系是 .
【答案】
．
4．【山东日照2017届高三下期二模】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为 ．
【答案】
5．【四川省成都市9校2017届高三第四次联合】已知函数（， 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是 ．
【答案】
【一年原创真预测】
1. 若函数（且）的图像经过定点，且过点的直线被抛物线截的弦长为，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】由已知可知则,设将直线方程与抛物线方程联立，可得，得，所以截的弦长，解得.
【入选理由】本题主要考了对数函数的性质，同时考查了直线与抛物线的位置关系,重点考查生的分析和解决问题的能力.此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题.
2.函数的定义域为，如果存在区间,使得在区间上的值域仍为，那么我们就把函数叫做“保值函数”.若函数为“保值函数”，则实数的取值范围为 .
【答案】
【入选理由】本题考查新定义下函数的值域问题，指数函数的图象和性质，考查生运用数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.本题通过新定，来研究指数函数的性质，出题角度新，故选此题.
3.设函数，在（1,2）内有交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
图像，可知实数的取值范围是.
【入选理由】本题考查考查函数的交点等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解，数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.此题初看似乎无从下手，但对题目变形后，利用单调性，求出函数的值域，从而可求，难度不大，但题目灵活，故选此题.
