2019届二轮复习数列的综合应用学案（全国通用）

2019届二轮复习   数列的综合应用  学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

一、等差数列和等比数列比较

二．数列求和

1. 等差数列的前和的求和公式：.

2．等比数列前项和公式

一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.

3. 数列前项和

①重要公式：（1）    

（2）

（3） 

（4）  

②等差数列中，；

③等比数列中， .

【重点难点突破】

考点1  等差数列和等比数列的综合问题

【1-1】【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】(1)，.(2).

【解析】

【1-2】设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知．

（1）求和；

（2）若，求正整数的值．

【答案】（1），；（2）4

【解析】

【分析】

（1）根据等差等比数列基本量之间的关系，列方程即可求解；（2）根据的特点采用分组求和后，解关于的方程即可. 

【详解】

【领悟技法】

1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.

2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．

若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令    ，则两式错位相减并整理即得.

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.

5. [易错提示]　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：

(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；

(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．

应用错位相减法求和时需注意：

①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；

②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.

【触类旁通】

【变式一】已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值（    ）

A．29    B．31      C．33      D．35

【答案】B

【解析】由题意得，因此，因此选B.

【变式二】已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则          ．

【答案】

，解得

考点2  数列的综合应用

【2-1】【安徽省六安市第一中学2018届第二次月考】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12 ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（  ）

A. 2021年    B. 2020年    C. 2019年    D. 2018年

【答案】C

【解析】设第年开始超过万元，则，化为，，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.   

【2-2】已知，已知数列满足，且，则(    )

A．有最大值6030  B . 有最小值6030      C.有最大值6027    D . 有最小值6027

【答案】A 

.

【2-3】【2018年模拟（二）】设正项等比数列的前项和为，已知.

(1)记，判断:数列是否成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；

(2)记，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

【分析】

(1) 设等比数列的首项为，公比为，求出进而得到 ，结合等差数列定义即可作出判断；(2) 由（1）可知，.利用裂项相消法求出，即可求出最小正整数的值.

【详解】

则 .

令 ，

解得，

又，所以.

【2-4】【2017届浙江省台州市4月一模】已知数列满足：.

（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据 ，证明右边，再根据基本不等式 ，

【领悟技法】

1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．   

数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围．

以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.

解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．

数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.

2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．

3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．

4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．

5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

，解决此类问题时要注意把握以下两点：

(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；

(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．

【触类旁通】

【变式一】【2017届浙江省杭州市4月二模】已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有.

（1）若， ，求的最大值；

（2）若对任意，都有，求证： .

【答案】（1）见解析（2）见解析

则，且，

，     

所以，

.

（2）若存在，使得，则由，

得，

因此，从项开始，数列严格递增，

故 ，

对于固定的，当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能递增，即只能.

令， ，

由，得， ，

故 ，

，

所以，

综上，对一切，都有.

【变式二】已知点是函数 (),且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列 ()的首项为,且前项和满足: ().

（1）.求数列和的通项公式;

（2）.若数列的通项求数列的前项和;

（3）.若数列前项和为,试问的最小正整数是多少.

【答案】（ 1） （2）（3）112

【解析】

【易错试题常警惕】

易错典例：【2016高考浙江理数】设数列满足，．

（I）证明：，；

（II）若，，证明：，．

易错分析：一是不能正确理解题意，二是在证明过程中不能正确第进行不等式的放缩.

正确解析：试题分析：（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证．   

  + +k ]

，

故

．

从而对于任意，均有

．

由的任意性得．             ① 学, ,  ,X,X,K]

温馨提醒：（I）先利用三角形不等式及变形得，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）的结论及已知条件可得，再利用的任意性可证．

【学 素养提升之思想方法篇】

----数列求和与不等式

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有四种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明；四是考查与数列有关不等式的解法.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.

【典例】已知数列满足.     

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前项和，解关于的不等式.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.   

【解析】

（Ⅰ）由题意

故时，,

当时，

，            

经检验 时，上式也成立，