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    2019届二轮复习数列递推学案(全国通用)
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    2019届二轮复习数列递推学案(全国通用)

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    第七讲 递推数列

    一、知识方法拓展

    由递推公式求数列通项的常用方法

    类型1

    方法:累加法(叠加法)

    类型2

    方法:累乘法(迭代法)

    类型3

    方法:待定系数法(构造法),令,从而构造一个公比为p的等比数列

    类型4

    方法:一般地,将原式转化为,令,则,转化为类型3解决

    注:当时,我们还能用如下方法更简便地解题

    ,从而构造一个等比数列

    类型5

    方法:一般地,将原式转化为,令,则,转化为类型1解决

    1:当的一次函数时,如我们还能用如下方法更简便地解题

    ,从而构造一个等比数列

    2:当的二次函数时,则可构造等比数列,依次类推

    类型6

    方法:特征根法

    其特征方程为

    1   若方程有两相异根,则

    2、若方程有两等根   其中可由初始条件确定。

    ,则,   *

    1)若方程组(*)有两组不同的解,

    , ,

    由等比数列性质可得, ,

    由上两式消去可得.

    2)若方程组(*)有两组相等的解,易证此时,则

    ,是等差数列,

    由等差数列性质可知

    所以

    类型7

    方法:函数不动点法,方程的根称为该数列的不动点,若数列有两个相异的不动点t,s,则为等比数列,若数列只有一个不动点,则是等差数列。

    (1),,

    ,

    两式相除有,从而得,再解出即可.

    (2),

    ,从而得

     

    二、热身练习

    1.(2012复旦),则数列的极限为( 

    A.    B.   C.  D.

    分析与解:一方面,我们可以用特征根法,,故可得s,t均为有理数。再观察数列前三项及选项,可快速得到只有A选项符合题意。

     

    2. (2007复旦)已知数列满足,且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数n是( 

    A.6  B.7  C.8  D.9

    分析与解:由,采用待定系数法,设

    成等比数列,故

    进一步可得

    ,选B

     

    3. (2006复旦)是正数列,其前项和为,满足:对一切2的等差中项等于2的等比中项,则  

    A.0  B.4  C.12  D.100

    分析与解:由题意得,又,两式相减得,因为是正数列,所以,选B

     

    三、真题精讲

    1. (2011卓越)设数列满足

    1)设,证明:若,则是等比数列

    2)若,求的值

    分析与解:1)根据提示化简原式得是公比为,首项为的等比数列

    2)当时,易得为常值数列,,极限不存在,不合题意

    时,由(1)知,用累加法可得

     

    2. (2004复旦)已知数列满足,求:

    1

    2

    分析与解:1)观察已知条件为融合后的递推公式,考虑消元转化为只含有一个数列的递推公式再求解。

    ,代入

    相邻三项型的递推数列,用特征根法求解

    2)由(1)易得

     

    3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式:确定,求斐波那契数列的通项公式

    分析与解:典型的相邻三项型通项公式,用特征根法可以快速得到答案

    4. (2010武大)为平面上的点列,其中数列满足

    ,已知的坐标为

    1)确定点所在圆C的方程

    2)证明:点列在定圆C

    3)求数列的通项公式

    分析与解:1)直接代入得,用求中垂线交点法或代入圆的一般方程都可简单求得圆方程

    2)考虑用数学归纳法来证明,由(1)知在圆C上,假设在圆C上,即

    得证

    3)由(2)知

    用不动点法,由是公比为9的等比数列

     

    5. (模拟题)已知数列满足,求通项

    分析与解:分式型递推公式,考虑用不动点法解题

    两式相除,得

    由已知易得,

    ,对式取对数,得

    是等比数列

     

    四、重点总结

    熟练运用各种方法求数列的通项公式

     

    、强化训练

    A

    1. (2008武大)在数列中,

    1)求证:数列是等比数列

    2)求数列的前n项和

    分析与解:(1)本题用待定系数法解较浪费时间,观察题目是个证明题,可以考虑从结论反推。根据提示直接写出等式,即可得证。

    2)由(1)可知,用分组求和可求得

    2. (2003交大)数列满足:,求

    分析与解:相邻三项型的递推公式,可以用特征根法来求通项

    另解,可以观察,再等式两边同时加,可得

    是常值数列,可得,用待定系数法可解得通项公式。

     

    3. (2008复旦)是正数列,其前项和为,满足:对所有的正整数2的等差中项等于2的等比中项,则  

    A.0  B.1  C.  D.

    分析与解:由题意得,又,两式相减得,因为是正数列,所以,观察所求式子中最高次为二次,所以只要找二次项的系数即可,,选C

     

    4. (2009复旦)设数列满足,如果,且是公比为2的等比数列,又设,则  

    A.0  B.   C.1  D.2

    分析与解:由已知,,累加法可得

    易得所求极限为2,选D

    5. (2001交大)数列1,3,2,…中,,则_____________

    分析与解:形如的递推数列可由归纳法知其为周期为6的周期数列,故

     

    6. (2004交大)已知数列满足,则___________

    分析与解:用特征根法,

     

    7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,求的通项公式

    分析与解:由已知,两式相减得

    因为各项均为正数,故

    易得

     

    8. (2005交大)已知月利率为r,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式(假设贷款时间为2年)

    分析与解:方法一,用数列的递推公式来求解。用数列表示第个月后的剩余本金,令,则有,用简单的待定系数法可得

    ,由

    方法二,将每月还款看成对银行的存钱,利用到2年末存款总额因等于欠款总额来建立等式求解。

    第二年末存款总额:

    第二年末欠款总额:

     

    B

    1. (2010浙大)如图,下有一系列正三角形,求第个正三角形的边长

    分析与解:此题关键是找到联系和抛物线的关系式

    由图,观察可得第个正三角形的上顶点坐标应为

    ,它在抛物线图像上,故,用退位相减法,化简易得

    由已知易得

     

    2. (2007交大)已知函数,对于,定义,若,则______________

    分析与解:由已知

     

    3. (模拟题)已知数列满足,其中p是给定的实数,n是正整数,试求n的值,使得的值最小

    分析与解:由原式得

    ,则

    用累加法可得

    ,即

    显然,当时,,当时,,当时,

    又,当时,,故使得的值最小的n的值为40

     

     

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