2019届二轮复习数列递推学案(全国通用)
展开第七讲 递推数列
一、知识方法拓展
由递推公式求数列通项的常用方法
类型1:
方法:累加法(叠加法),
类型2:
方法:累乘法(迭代法),
类型3:
方法:待定系数法(构造法),令,,从而构造一个公比为p的等比数列
类型4:
方法:一般地,将原式转化为,令,则,转化为类型3解决
注:当时,我们还能用如下方法更简便地解题
令,,从而构造一个等比数列
类型5:
方法:一般地,将原式转化为,令,则,转化为类型1解决
注1:当的一次函数时,如我们还能用如下方法更简便地解题
令,,从而构造一个等比数列
注2:当的二次函数时,则可构造等比数列,依次类推
类型6:
方法:特征根法
其特征方程为,
1、 若方程有两相异根、,则
2、若方程有两等根则 其中、可由初始条件确定。
设,则,令 (*)
(1)若方程组(*)有两组不同的解,
则, ,
由等比数列性质可得, ,
由上两式消去可得.
(2)若方程组(*)有两组相等的解,易证此时,则
,
,即是等差数列,
由等差数列性质可知,
所以.
类型7:
方法:函数不动点法,方程的根称为该数列的不动点,若数列有两个相异的不动点t,s,则为等比数列,若数列只有一个不动点,则是等差数列。
(1)若,由,
,
两式相除有,从而得,再解出即可.
(2)若,由,,
,从而得
二、热身练习
1.(2012复旦)设,则数列的极限为( )
A. B. C. D.
分析与解:一方面,我们可以用特征根法,,故而可得s,t均为有理数。再观察数列前三项及选项,可快速得到只有A选项符合题意。
2. (2007复旦)已知数列满足,且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数n是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
分析与解:由,采用待定系数法,设
成等比数列,故
进一步可得
又,选B
3. (2006复旦)是正数列,其前项和为,满足:对一切,和2的等差中项等于和2的等比中项,则( )
A.0 B.4 C.12 D.100
分析与解:由题意得,又,两式相减得,因为是正数列,所以,选B
三、真题精讲
例1. (2011卓越)设数列满足
(1)设,证明:若,则是等比数列
(2)若,求的值
分析与解:(1)根据提示化简原式得是公比为,首项为的等比数列
(2)当时,易得为常值数列,,极限不存在,不合题意
当时,由(1)知,用累加法可得
由
例2. (2004复旦)已知数列,满足又,求:
(1)
(2)
分析与解:(1)观察已知条件为,融合后的递推公式,考虑消元转化为只含有一个数列的递推公式再求解。
由,代入得
相邻三项型的递推数列,用特征根法求解
又
(2)由(1)易得
例3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式:确定,求斐波那契数列的通项公式
分析与解:典型的相邻三项型通项公式,用特征根法可以快速得到答案
又
例4. (2010武大)设为平面上的点列,其中数列,满足
,已知的坐标为
(1)确定点所在圆C的方程
(2)证明:点列在定圆C上
(3)求数列的通项公式
分析与解:(1)直接代入得,用求中垂线交点法或代入圆的一般方程都可简单求得圆方程
(2)考虑用数学归纳法来证明,由(1)知在圆C上,假设在圆C上,即
得证
(3)由(2)知
用不动点法,由是公比为9的等比数列
例5. (模拟题)已知数列满足,求通项
分析与解:分式型递推公式,考虑用不动点法解题
由
两式相除,得
由已知易得,
故,对式取对数,得
是等比数列
四、重点总结
熟练运用各种方法求数列的通项公式
五、强化训练
A组
1. (2008武大)在数列中,
(1)求证:数列是等比数列
(2)求数列的前n项和
分析与解:(1)本题用待定系数法解较浪费时间,观察题目是个证明题,可以考虑从结论反推。根据提示直接写出等式,即可得证。
(2)由(1)可知,用分组求和可求得
2. (2003交大)数列满足:,求和
分析与解:相邻三项型的递推公式,可以用特征根法来求通项
由
另解,可以观察,再等式两边同时加,可得
故是常值数列,可得,用待定系数法可解得通项公式。
3. (2008复旦)是正数列,其前项和为,满足:对所有的正整数,和2的等差中项等于和2的等比中项,则( )
A.0 B.1 C. D.
分析与解:由题意得,又,两式相减得,因为是正数列,所以,观察所求式子中最高次为二次,所以只要找二次项的系数即可,,选C
4. (2009复旦)设数列,满足,如果,且是公比为2的等比数列,又设,则( )
A.0 B. C.1 D.2
分析与解:由已知,,累加法可得
易得所求极限为2,选D
5. (2001交大)数列1,3,2,…中,,则_____________
分析与解:形如的递推数列可由归纳法知其为周期为6的周期数列,故
6. (2004交大)已知数列满足,则___________
分析与解:用特征根法,
又
7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,求的通项公式
分析与解:由已知,两式相减得
因为各项均为正数,故
由及易得
8. (2005交大)已知月利率为r,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式(假设贷款时间为2年)
分析与解:方法一,用数列的递推公式来求解。用数列表示第个月后的剩余本金,令,则有,用简单的待定系数法可得
,由
方法二,将每月还款看成对银行的存钱,利用到2年末存款总额因等于欠款总额来建立等式求解。
第二年末存款总额:
第二年末欠款总额:
故
B组
1. (2010浙大)如图,下有一系列正三角形,求第个正三角形的边长
分析与解:此题关键是找到联系和抛物线的关系式
由图,观察可得第个正三角形的上顶点坐标应为
,它在抛物线图像上,故,用退位相减法,化简易得
由已知易得
2. (2007交大)已知函数,对于,定义,若,则______________
分析与解:由已知
又
3. (模拟题)已知数列满足,其中p是给定的实数,n是正整数,试求n的值,使得的值最小
分析与解:由原式得
令,则
用累加法可得
,即
显然,当时,,当时,,当时,
又,当时,,故使得的值最小的n的值为40