2019届二轮复习空间点、线、面的位置关系学案（全国通用）


1．理解空间直线、平面位置关系的定义。
2．了解可以作为推理依据的公理和定理。
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

热点题型一 平面基本性质的应用
例1、如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点。求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点。
证明：(1)连接A1B。
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綊A1B。

又A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形。
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1。
∴EF与CD1确定一个平面。。X。X。
∴E、F、D1、C四点共面。

【提分秘籍】
证明点共面或线共面的常用方法
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面。
(2)同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合。
【举一反三】
已知在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝(如图所示)，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。


热点题型二 异面直线的判定
例2、（2018年天津卷）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】
（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

【变式探究】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由。
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。
【解析】(1)不是异面直线。理由：
连接MN、A1C1、AC。
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1。
又∵A1A綊C1C，
∴A1ACC1为平行四边形。
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC。
∴A、M、N、C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线。

【提分秘籍】
异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。
(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。
【举一反三】
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线。
其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)

【答案】③④
热点题型三 异面直线所成的角
例3．（2018年江苏卷）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xy ．
因为AB=AA1=2，
所以．


（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y， ）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
【变式探究】如图所示，A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点。

(1)若EF＝AD，求异面直线AD与BC所成的角；
(2)若EF＝AD，求异面直线AD与BC所成的角。
【解析】设G是AC的中点，连结EG、FG。如图所示。


(1)若EF＝AD，则在△EFG中有
cos∠EGF＝＝＝0，
∴∠EGF＝90°，即AD与BC所成的角为90°。

【提分秘籍】
1．求异面直线所成角的常用方法及类型
常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点空间某特殊点)作平行线平移；补形平移。
2．求异面直线所成角的三个步骤
(1)作：通过作平行线，得到相交直线。
(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角。
(3)求：通过解三角形，求出该角。
【举一反三】
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
【解析】如图，取AB的中点E，连接B1E，

则AM∥B1E。取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN。
连接CF，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角θ。设AB＝1，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝。
由余弦定理cosθ＝ cos∠CNF ＝＝，
故选D。

1. （2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则
A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1
【答案】D

2. （2018年全国卷Ⅱ）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则，故选C。

3. （2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】
方法一：

（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.


方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xy .

由题意知各点坐标如下：

因此
由得.
由得.
所以平面.

4. （2018年天津卷）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】
（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

5. （2018年江苏卷）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xy ．
因为AB=AA1=2，
所以．


（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y， ）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
A． B．
C． D．
【答案】A

2．【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.
3.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明见解析； （2）．
【解析】 （1）由已知，得, .
由于，故，从而平面.
又平面，所以平面平面.


1.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,
,,则m,n所成角的正弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A


2.【2016高考上海文 】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）


(A)直线AA1 (B)直线A1B1
(C)直线A1D1 (D)直线B1C1
【答案】D
【解析】只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．
3.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【答案】C
【解析】由题意知，．故选C．
1.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】


（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是
2.【2015高考山东，文18】 如图，三棱台中，分别为的中点.
（I）求证：平面；
（II）若求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【解析】


证法二：在三棱台中，由为的中点，
可得所以为平行四边形，可得
在中，分别为的中点，
所以又，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面.


1．（2014·辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B　
【解析】由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．
2．（2014·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

图1­5
【解析】解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.

由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.
则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0， 0)，
则即
取 0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
3．（2014·新课标全国卷Ⅱ）直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　


4．（2014·四川卷）三棱锥A ­ BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．
　
图1­4
【解析】解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，


(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.

由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A ­ NP ­ M的一个平面角．
由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.
由俯视图可知，AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.
作BR⊥AC于R
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，
所以BR＝＝.
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
所以NQ＝＝.
同理，可得MQ＝.
故△MNQ为等腰三角形，
所以在等腰△MNQ中，
cos∠MNQ＝＝＝.
故二面角A ­ NP ­ M的余弦值是.


所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.