2019届二轮复习立体几何之根本--空间点线面的位置关系学案（全国通用）

考纲要求:

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.

2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.

3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题.

基础知识回顾:

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).

②范围：.

3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.

4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.异面直线的判定方法：

 （1） 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

 （2） 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

应用举例:

类型一、几何体中点线面的位置关系

【例1】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（   ）

A．与都不相交   B．与都相交

C．至多与中的一条相交    D．至少与中的一条相交

【答案】D

【解析】

【分析】

可以画出图形来说明与和的位置关系，从而可判断A、B、C是错误的，而对于D，可以假设不正确，这样直线与、都不相交，可推出和、异面矛盾，这样便说明D正确。

在B中，直线可以与、中的一个平行，如上图，所以选项B错误；

在C中，直线与、可以都相交，如图，学   ]

所以选项C错误；

在D中，“至少与中的一条相交”正确，

假设直线与、都不相交，

因为直线与、都共面，

所以直线与、都平行，

所以，这与直线和是异面直线矛盾，所以选项D正确。

【点睛】

本题考查了异面直线的概念，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等基础知识，考查分析、作图能力，是中档题。在直接说明一个命题正确困难的时候，可以说明它的反面不正确，即反证法。

【例2】【安徽省芜湖市2018届高三上学期期末考试（一模）】如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（  ）

A． 平面

B． 直线与平面所成角的正切值为

C． 四面体的外接球表面积为

D． 异面直线和所成角为

【答案】D

【例3】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，在棱长为1的正方体中

，点在线段上运动，则下列命题错误的是（     ）

A． 异面直线和所成的角为定值

B． 直线和平面平行

C． 三棱锥的体积为定值

D． 直线和平面所成的角为定值

【答案】D

【解析】

【分析】

结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析

而平面为固定平面且大小一定，

，而平面

点到平面的距离即为点到该平面的距离，

三棱锥的体积为定值，故正确

，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误

故选

【点睛】

本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换。

类型二、点线面位置关系的判定

【例4】【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点.

（1）求证：面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2).

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，

，

．

在正方形中，，平面．

（2）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．由得，

．点到平面的距离为．

考点：1．线与面垂直的判定；2．等体积公式求点到面的距离．

【例5】【安徽省示范高中（皖江八校）2018届高三第八次（5月）联考】如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.

（1）证明：；

（2）若，求几何体的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连接交于点，连接，欲证，只需证明即可；（2）原几何体是由四棱锥和三棱锥两部分构成，只需分别计算出体积相加可得.

详解：

(Ⅰ)如上图所示，连接交于点，连接.

∵四边形是正方形，∴是的中点

又已知是的中点,∴

又∵且,∴，

即四边形是平行四边形

∴，∵,∴；

点睛：(1)证明线线垂直时可利用勾股定理逆定理，等腰三角形中三线合一，线面垂直等方法进行，本题中通过构造，将问题进行了转化；（2）在计算组合体体积时，要注意分析组合体由哪些简单几何体构成，分别计算体积即可求解，而在计算简单几何体体积时要注意“换底”的策略.

【例6】【2018年天津市河北区高三数学二模】如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面ABC，==3，==2.

（I）求异面直线与AB所成角的余弦值；

（II）求证：⊥平面；

（III）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

详解：

 (I)∵∥AB， 学    ]

∴∠G是异面直线与AB所成的角．

∵==2，G为BC的中点，

∴A1G⊥B1C1，

在中，，

∴，    

即异面直线AG与AB所成角的余炫值为．

（II）在三棱柱中，

∵⊥平面ABC，平面ABC，

∴⊥A1G，

∴⊥A1G，            

又A1G⊥，，

∴平面．  

点睛：用几何法求求空间角的步骤： 学  ]

①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．

方法、规律归纳:

1．点线共面问题证明的2种方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明多线共点问题的2个步骤

(1)先证其中两条直线交于一点；

(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．

3. 用平移法求异面直线所成的角的3步骤

(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 学  ]

实战演练:

1．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】如图，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（   ）

A． 平面

B． 直线与平面所成角的正切值为

C． 异面直线和求所成角为

D． 四面体的外接球表面积为

【答案】C

取AF的中点P，连接OP，HP，则PH∥AE，

∴∠OHP为异面直线OH和求AE所成角，

∵OE=OF=1，OA=2，∴OP=AF=，PH=AE=，OH=EF=，

∴cos∠OHP==，故C错误．

由OA，OE，OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1，1，2的长方体的外接球，

∴外接球的半径r==，故外接球的表面积为S=4πr2=6π，故D正确．

故选：C．

点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．

2．【河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试】若异面直线所成的角是，则以下三个命题:

①存在直线，满足与的夹角都是；

②存在平面，满足，与所成角为；

③存在平面，满足，与所成锐二面角为.

其中正确命题的个数为（   ）

A． 0    B． 1    C． 2    D． 3

【答案】D

【解析】分析：在①中，在上任取一点，过作，与的夹角均为；在②中，在上取一点,过作；在③中，在上取一点，过作，确定一个平面平面即可.

详解：异面直线所成的角是，在①中，由异面直线所成的角是，

在上任取一点，过作，在空间中过点能作出直线，使得与的夹角均为，存在直线，满足与的夹角都是，故①正确；

在②中，在上取一点,过作，则以确定的平面，满足与

所成的角是，故②正确；在③中，在上取一点，过作，确定一个平面平面，过能作出一个平面，满足与所成锐二面角为，故③正确，故选D

点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查空间线性角、线面角、面面角的定义与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

3．【广东省湛江市2018届高三下学期第二次模拟考试】下列命题正确的是：

①三点确定一个平面；

②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；

③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；

④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。

A． ①③    B． ①④    C． ②④    D． ②③

【答案】C

④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确.

综上可得：命题正确的是：②④ .

本题选择C选项.

点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：

（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；

（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.

4．【福建省三明市2018届高三5月质量检查测试】如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误的是

A． 直线与为异面直线    B． 平面

C．     D． 三棱锥的体积为

【答案】D

【解析】分析：在A中，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线；在B中，由A1C1∥AC，得A1C1∥平面ACD1；在C中，由AC⊥BD，AC⊥DD1，得AC⊥面BDD1，从而BD1⊥AC；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积为．

在C中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，

∵BD∩DD1，∴AC⊥面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；

在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积：

==，故D错误．

故选：D．

点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

5．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试】如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若 平面，则线段长度的取值范围是（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围．

详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，

又平面AEF，AE⊂平面AEF，

∴∥平面AEF，

又，

∴平面∥平面AEF．

∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，

∴点P必在线段MN上．

在中，．

同理，在中，可得，

∴为等腰三角形．

当点P为MN中点O时，，此时最短；点P位于M、N处时，最长．   ]

∵，．

∴线段长度的取值范围是．

故选B．

点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得取得最值时的点P的位置，然后再根据勾股定理进行计算．

6．【四川省资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊）】如图，平面与平面相交于，

，点，点，则下列叙述错误的是

A． 直线AD与BC是异面直线

B． 过AD只能作一个平面与BC平行

C． 过AD只能作一个平面与BC垂直

D． 过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行

【答案】C

7．【江西省南昌市第三中学2017-2018学年度上学期高二期末考试】如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：

异面直线与间的距离为定值；

三棱锥的体积为定值；

异面直线与直线所成的角为定值；

二面角的大小为定值．

其中真命题有(      )

A． 1个    B． 2个    C． 3个    D． 4个

【答案】D

对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确．

综上①②③④正确．选D．

8．【辽宁省抚顺市2018届高三3月高考模拟考试】给出下列四个命题：

①如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；

②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；

④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.

其中真命题的个数为

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】C

9．【广东省茂名市2018届高三上学期第一次综合测试】如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①AF⊥GC；

②BD与GC成异面直线且夹角为60；

③BD∥MN；

④BG与平面ABCD所成的角为45.

其中正确的个数是(    )

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】B

【解析】将平面展开图还原成正方体（如图所示）．

对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；

对于②，BD与GC显然成异面直线．连EB，ED，则BM∥GC，所以即为异面直线BD与GC所成的角（或其补角）．在等边△BDM中， ，所以异面直线BD与GC所成的角为，故②正确；

点睛：空间中点、线、面位置关系的判断方法

(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础．对点、线、面的位置关系的判断，常用的方法时对各种关系都进行考虑，进行逐一排除，解题时要充分发挥模型的直观性作用；

(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确．

10．【四省名校（南宁二中等）2018届高三上学期第一次大联考】如图，在三棱锥中， 分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】由题意结合三角形中位线的性质可得： ，

由平行公理可得： .

本题选择C选项.

11．【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试】已知是不重合直线， 是不重合平面，则下列命题

①若，则  ②若，则

③若，则  ④若，则

⑤若，则中真命题个数是（    ）

A． 0个    B． 1个    C． 2个    D． 3个

【答案】C

点睛：本题主要考查了空间中直线与平面位置的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行、平面与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记直线与平面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.

12．【黑龙江省齐齐哈尔市2017届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段上一点，设，给出下面几个命题：

①的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；

②的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小；

③三梭锥的体积为定值.

其中正确的命题个数是（  ）

A． 0    B． 1    C． 2    D． 3

【答案】C

当时，,的面积最小值为,

故②正确；  | |k ]

③，此时为定值，

，∴h亦为定值，故③正确

故选：C

13．【山东省实验中学2017届高三下学期一模考试】正方形与梯形所在的平面互相垂直，

，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在找一点，使得平面.请确定点的位置，并给出证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得，据此可得.

(2)为的中点，利用立体几何的相关结论证明即可.

14．【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试】如图，四棱锥中，底面是矩形，平面底面，且是边长为的等边三角形， 在上，且面.

（1）求证: 是的中点；

（2）求多面体的体积.

【答案】(1)见解析; (2) .

【解析】(1)证明：连交于，连是矩形， 是中点.又面，且是面与面的交线， 是的中点.

(2)取中点，连.则，由面底面，得面，

，

.

点睛：（1）根据线面平行的结论可得，从而得到M是中点，（2）求体积最主要的思维就是先解决几何体的高，然后根据体积公式求解即可，当然对于不规则的解题则要借助于补形的思想利用规则几何体的体积减或加来解决问题.

15．【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟考试】如图，在直四棱柱中， ， ， ，点为棱的中点.

（1）证明： ；

（2）若为线段上一点，且， 为的中点，求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析: (1)先通过证明线线垂直,得到证明线面垂直,再由线面垂直的性质得到线线垂直; (2)先证明FO是三棱锥 的高,再算出体积.

试题解析：（1）

（2）