2019届二轮复习（理）专题跟踪训练18等差数列、等比数列作业（全国通用）

专题跟踪训练(十八)

一、选择题

1．(2018·长郡中学摸底)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝(　　)

A．23  B．96  C．224  D．276

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，解得d＝1，所以a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，解得a1＝1，所以S23＝23×1＋×1＝276，选D.

[答案]　D

2．已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

[解析]　设{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，选B.

[答案]　B

3．等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．5

[解析]　因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，

所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，

故a9＋a11＝＝＝2；

同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，

所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

[答案]　C

4．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(－∞，0)∪[1，＋∞)

C．[3，＋∞)   D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

[解析]　因为等比数列{an}中a2＝1，

所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.

当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3；

当公比q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1，

所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D.

[答案]　D

5．(2018·江西七校联考)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝(n∈N*)，则＝(　　)

A．16  B.  C.  D.

[解析]　令Sn＝38n2＋14n，Tn＝2n2＋n，∴a6＝S6－S5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b7＝T7－T6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴＝＝＝16.故选A.

[答案]　A

6．(2018·河南郑州二中期末)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则(n∈N*)的最小值为(　　)

A．4  B．3  C．2－2  D.

[解析]　∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，

∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)

∴an＝2n－1，

∴Sn＝＝n2，

∴＝.令t＝n＋1，

则＝t＋－2≥6－2＝4当且仅当t＝3，

即n＝2时等号成立，∴的最小值为4.故选A.

[答案]　A

二、填空题

7．(2018·福建四地六校联考)已知等差数列{an}中，a3＝，则cos(a1＋a2＋a6)＝________.

[解析]　∵在等差数列{an}中，a1＋a2＋a6＝a2＋a3＋a4＝3a3＝π，∴cos(a1＋a2＋a6)＝cosπ＝－.

[答案]　－

8．(2018·山西四校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝5，则＝________.

[解析]　解法一：设数列{an}的公比为q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5，

所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17.

解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，

由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，

所以＝＝17.

[答案]　17

9．已知数列{xn}各项均为正整数，且满足xn＋1＝n∈N*.若x3＋x4＝3，则x1所有可能取值的集合为________．

[解析]　由题意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.

当x3＝1时，x2＝2，从而x1＝1或4；

当x3＝2时，x2＝1或4，

因此当x2＝1时，x1＝2，当x2＝4时，x1＝8或3.

综上，x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．

[答案]　{1,2,3,4,8}

三、解答题

10．(2018·沈阳市高三第一次质量监测)已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝2，

所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.

设等比数列{bn}的公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.

因为b1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.

(2)由(1)可得，Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.

11．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

[解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得

3a1＋3d＝－15.

由a1＝－7得d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n－9.

(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

12．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．

(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；

(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．

[解]　(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．

(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn，b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，

则bn≠0，所以＝－(n∈N*)．

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．