2019届二轮复习　等差数列、等比数列作业（全国通用） 练习

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列

(建议用时：60分钟)

(对应学生用书第91页)

一、选择题

1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1    B．2  C．4     D．8

C　[设{an}的公差为d，则

由得解得d＝4.

故选C．]

2．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)

A．－2   B．－1  C．    D．

B　[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝3a2＋2，

得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B．]

3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝a1＋2a3，a4＝1，则S4＝(　　)

A． B． 

C．14 D．15

D　[由S2＝a1＋2a3，得a1＋a2＝a1＋2a3，即a2＝2a3，又{an}为等比数列，所以公比q＝＝，又a4＝a1q3＝＝1，所以a1＝8.S4＝＝8×＝15.故选D．]

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)

A．6 B．7 

C．12 D．13

C　[∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]

5．(2018·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　 )

A．3 B．4 

C．5 D．6

C　[在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，

所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11，

所以＝－11，①

又am＋1＝a1(－2)m＝32，②

两式联立解得m＝5，a1＝－1.]

6．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为(　　)

A．{1} B． 

C． D．

B　[＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，则＝1.∵a1＝d≠0，∴≠0，∴该常数的可能值的集合为.]

7．已知等比数列{an}中，a2a10＝6a6，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a6，则数列{bn}的前9项和为(　　 )

A．9 B．27 

C．54 D．72

B　[根据等比数列的基本性质有a2a10＝a＝6a6，a6＝6，所以b4＋b6＝a6＝6，所以S9＝＝＝27.]

8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为(　　 )

A．T3 B．T4 

C．T5 D．T6

A　[设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则16a＝a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q＞0，则q＝，an＝a2qn－2＝8×＝27－2n，则Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，当n＝3时，n(6－n)取得最大值9，此时Tn最大，即(Tn)max＝T3，故选A．]

二、填空题

9．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为________．

2　[根据等比中项有a＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，化简得a1＝－4d，＝＝＝＝2.]

10．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．

10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]

11．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为________．

16　[S10＝＝40⇒a1＋a10＝a3＋a8＝8，

a3·a8≤＝＝16，

当且仅当a3＝a8＝4时“＝”成立．]

12．已知函数{an}满足an＋1＋1＝，且a1＝1，则数列的前20项和为________．

780　[由an＋1＋1＝得＝，即－＝2，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，则＝2n－，∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]

三、解答题

13．(2018·德阳二诊)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1 .

(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；

(2)求数列的前n项和Tn.

[解]　(1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．

又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0.

∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知an＝2n－1，

∴＝＝－，

∴Tn＝－＋－＋…＋－＝1－.

14．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3的值；

(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)当n＝1时，由S1＝2a1－3×1，得a1＝3；

当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，可得a2＝9；

当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.

(2)令(a2＋λ)2＝(a1＋λ)·(a3＋λ)，

即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3.

由Sn＝2an－3n及Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，

两式相减，得an＋1＝2an＋3.

由以上结论得an＋1＋3＝(2an＋3)＋3＝2(an＋3)，

所以数列{an＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，

因此存在λ＝3，使得数列{an＋3}为等比数列，

所以an＋3＝(a1＋3)×2n－1，

an＝3(2n－1)(n∈N*)．