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2019届二轮复习专题1.1集合及其运算学案（全国通用）
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第一节 集合及其运算
最新考纲
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．
知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:Z§xx§k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.
(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.学=科网
(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
典型例题
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】C
【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
(3)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B．
C．0 D．0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
(4)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.
【答案】－1
【解析】由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.
规律方法 解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.
(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
【变式训练1】
(1)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－
(2)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(4)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.
【答案】a<－
【解析】由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－.
考点二 集合间的基本关系
【例2】(1)[2015·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
【答案】5
【解析】因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.
(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．
【答案】28 28－1 28－1 28－2
【解析】因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．
(3)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
【答案】C
【解析】因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.
(4)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(5)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，3]
【解析】因为B⊆A，
∴①若B＝∅，则2m－1
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
规律方法 根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【变式训练2】
（1）已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]
【解析】由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．
（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________．
【答案】∅
【解析】若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.
（3）已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】[－2,2)
【解析】①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
（4）已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】A
【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
(5)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．
【答案】m≤1
考点三 集合的基本运算
有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．
主要有以下几个命题角度：
角度一
离散型数集间的交、并、补运算
【例3】设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log (x－1)，x∈A}，则集合(∁UA)∩(∁UB)＝( )
A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}
C．{2,4,5} D．{1,3,5}
【答案】D
【解析】 由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,5}．
角度二
连续型数集间的交、并、补运算
【例4】(1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－3
【答案】C
【解析】 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3
【答案】{y|－1≤y≤7}
【解析】 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7，
∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．
【题点发散1】 本例(3)中，若集合A变为“A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}”，其他条件不变，求A∩B.
【答案】A∩B＝{y|y≤7}
【解析】因为A中元素是函数自变量，则A＝R，
而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．
【题点发散2】 本例(3)中，若集合A，B中元素都为整数，求A∩B.
【答案】A∩B＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}
【解析】由(3)可知A∩B＝{y|－1≤y≤7}，
则当A，B中元素都为整数时，A∩B＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．
【题点发散3】 本例(3)中，若集合A，B不变，试求(∁RA)∪(∁RB)．
【答案】(∁RA)∪(∁RB)＝{y|y＜－1或y＞7}
【解析】∵A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，
∴∁RA＝{y|y＜－1}，∁RB＝{y|y＞7}，
故(∁RA)∪(∁RB)＝{y|y＜－1或y＞7}．
【题点发散4】 本例(3)中，若集合A，B变为“A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}”，求A∩B.
【答案】A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}
【解析】由⇒x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.
于是，或故A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}．
角度三
根据集合的运算结果求参数
【例5】(1)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．学科=网
【答案】2
【解析】∵(∁UA)∩B＝∅，∴B⊆A.又A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}，
∴－1和－2是方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根．∴m＝2.
(2)已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.
【答案】5
【解析】由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
因为A∩B＝[2,4]，
故则m＝5.
角度四
新定义集合问题
【例6】若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
【答案】3
【解析】具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
规律方法 解决集合的基本运算问题，从三点入手
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(如角度一)
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(如角度二)
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(如角度三)
【变式训练3】
(1)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A.[2，3] B.(－2，3]
C.[1，2) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
【答案】B
【解析】易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁RQ＝{x|－2
A.{2，6} B.{3，6}
C.{1，3，4，5} D.{1，2，4，6}
【答案】A
【解析】∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.
（3）[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
【答案】B
(4)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝( )
A. B.
C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞)
【答案】 C
【解析】 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．
课堂总结
1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
课后作业
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】由题意得，A＝{x|1
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
【答案】C
【解析】由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
【答案】D
【解析】集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
【答案】A
【解析】由题意知B＝{x|－2
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
【答案】A
【解析】∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.
6．[2017·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】A
【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
7．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【答案】 A
【解析】∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
8．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
【答案】A
【解析】 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.
9．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )
A．1 B．3
C．4 D．7
【答案】B
【解析】 因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
【答案】 C
【解析】 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
11．[2017·山东高考]设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
【答案】D
【解析】 ∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．
∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.
12．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
13．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x
【解析】因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
14．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
【答案】 －1 1
【解析】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
15．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】 B
最新考纲
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．
知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:Z§xx§k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.
(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.学=科网
(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
典型例题
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】C
【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
(3)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B．
C．0 D．0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
(4)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.
【答案】－1
【解析】由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.
规律方法 解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.
(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
【变式训练1】
(1)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－
(2)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(4)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.
【答案】a<－
【解析】由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－.
考点二 集合间的基本关系
【例2】(1)[2015·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
【答案】5
【解析】因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.
(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．
【答案】28 28－1 28－1 28－2
【解析】因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．
(3)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
【答案】C
【解析】因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.
(4)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(5)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，3]
【解析】因为B⊆A，
∴①若B＝∅，则2m－1
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
规律方法 根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【变式训练2】
（1）已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]
【解析】由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．
（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________．
【答案】∅
【解析】若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.
（3）已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】[－2,2)
【解析】①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
（4）已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】A
【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
(5)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．
【答案】m≤1
考点三 集合的基本运算
有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．
主要有以下几个命题角度：
角度一
离散型数集间的交、并、补运算
【例3】设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log (x－1)，x∈A}，则集合(∁UA)∩(∁UB)＝( )
A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}
C．{2,4,5} D．{1,3,5}
【答案】D
【解析】 由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,5}．
角度二
连续型数集间的交、并、补运算
【例4】(1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－3
【答案】C
【解析】 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3
【答案】{y|－1≤y≤7}
【解析】 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7，
∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．
【题点发散1】 本例(3)中，若集合A变为“A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}”，其他条件不变，求A∩B.
【答案】A∩B＝{y|y≤7}
【解析】因为A中元素是函数自变量，则A＝R，
而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．
【题点发散2】 本例(3)中，若集合A，B中元素都为整数，求A∩B.
【答案】A∩B＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}
【解析】由(3)可知A∩B＝{y|－1≤y≤7}，
则当A，B中元素都为整数时，A∩B＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．
【题点发散3】 本例(3)中，若集合A，B不变，试求(∁RA)∪(∁RB)．
【答案】(∁RA)∪(∁RB)＝{y|y＜－1或y＞7}
【解析】∵A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，
∴∁RA＝{y|y＜－1}，∁RB＝{y|y＞7}，
故(∁RA)∪(∁RB)＝{y|y＜－1或y＞7}．
【题点发散4】 本例(3)中，若集合A，B变为“A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}”，求A∩B.
【答案】A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}
【解析】由⇒x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.
于是，或故A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}．
角度三
根据集合的运算结果求参数
【例5】(1)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．学科=网
【答案】2
【解析】∵(∁UA)∩B＝∅，∴B⊆A.又A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}，
∴－1和－2是方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根．∴m＝2.
(2)已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.
【答案】5
【解析】由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
因为A∩B＝[2,4]，
故则m＝5.
角度四
新定义集合问题
【例6】若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
【答案】3
【解析】具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
规律方法 解决集合的基本运算问题，从三点入手
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(如角度一)
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(如角度二)
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(如角度三)
【变式训练3】
(1)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A.[2，3] B.(－2，3]
C.[1，2) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
【答案】B
【解析】易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁RQ＝{x|－2
A.{2，6} B.{3，6}
C.{1，3，4，5} D.{1，2，4，6}
【答案】A
【解析】∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.
（3）[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
【答案】B
(4)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝( )
A. B.
C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞)
【答案】 C
【解析】 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．
课堂总结
1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
课后作业
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】由题意得，A＝{x|1
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
【答案】C
【解析】由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
【答案】D
【解析】集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
【答案】A
【解析】由题意知B＝{x|－2
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
【答案】A
【解析】∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.
6．[2017·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】A
【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
7．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【答案】 A
【解析】∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
8．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
【答案】A
【解析】 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.
9．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )
A．1 B．3
C．4 D．7
【答案】B
【解析】 因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
【答案】 C
【解析】 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
11．[2017·山东高考]设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
【答案】D
【解析】 ∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．
∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.
12．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
13．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x
【解析】因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
14．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
【答案】 －1 1
【解析】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
15．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】 B
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