2019届二轮复习正弦、余弦定理和解斜三角学案（全国通用）










正弦定理推论
已知边边角、角角边
已知边边边、边角边
余弦定理推论













一、 正弦定理和面积公式
（一）知识精讲
1、正弦定理：（1）中：(为的外接圆的半径)
已知边边角或角角边，一般用正弦定理。
(2)推论：正余弦定理的边角互换功能
① ，，
②，，
③ ==
④

2、三角形的面积公式：
（1）== （2）= （3）


（二）典型例题
【例1】（1）在中，，，，则 ， ；
（2）在中，已知，，，则 。
【难度】★
【答案】（1）；（2）

【例2】（1）在中，若，则c= ；
（2）在中，若，则A= 。
【难度】★
【答案】（1）55；（2）
【例3】满足的三角形的个数为 （ ）
（A）1个 （B）2个
（C）0个 （D）无法确定
【难度】★
【答案】C

【例4】在中，，在解三角形时只有唯一解，则的取值范围
【难度】★★
【答案】

【例5】在中，，求c。
【难度】★★
【答案】


【例6】在中，分别是三个内角的对边，若， ，，求的面积。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】：由题意，得，B为锐角，，
，
由正弦定理得， 。
【例7】在△ABC中，已知tanB=求△ABC的面积
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解题策略：求出另一条边，再求出两边的夹角的正弦值，就可求出面积
解 法一：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB=，得B=60°，则
sinB=/2,cosB=1/2。


【例8】已知OAB是一半径为2的扇形（如图），圆心角，过弧AB 上动点P作平行于BO的直线交AO于Q点，设。
（1）写出的面积S与的函数关系式
（2）为何值时，的面积最大，最大值为多少？
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】


【例9】如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过的中心G，设=（）。
（1）试将的面积（分别记为）表示为的函数；
（2）求的最大值与最小值。

【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG=，由正弦定理得，则，
所以（）
又，得，
（）
(2)（）
所以当或时，，当时，


【巩固训练】
1．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
【难度】★★
【答案】

2．已知的面积是9cm2，若AB、AC的比例中项是6cm，则A= 。
【难度】★★
【答案】30°或150°

3．若三角形的三个内角之比是1:2:3，则三边之比为 。
【难度】★★
【答案】

4．如果半径为2的圆的内接三角形的面积为，则abc= 。
【难度】★★
【答案】2

5．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.
(I)求cosA的值，
(II)求c的值.
【难度】★★
【答案】(1)因为a＝3，，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.
所以.故cos A＝.
(2)由(1)知，cos A＝，所以sin A＝.又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.所以sin B＝.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.

6．将一块圆心角为，半径为20cm的扇形铁片裁成一个矩形（如图5-15），求截得矩形的最大面积
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】如图，连接OP
设

答：当P点为弧中点时，截得矩形面积最大，最大面积为


二、 余弦定理
（一）知识精讲
1、余弦定理：
已知边边边或边角边，一般用余弦定理。
2、推论：如果的对边是，则有：

（二）典型例题
【例10】在中，若则= 。
【难度】★
【答案】3或5
【例11】在中，，则B= 。
【难度】★
【答案】

【例12】为钝角三角形三边，钝角为，则= 。
【难度】★
【答案】

【例13】已知钝角三角形的边长分别为，则a的取值范围是________。
【难度】★★
【答案】

【例14】在中，若，则= 。
【难度】★★
【答案】

【例15】 中，已知三角形面积为，则= 。
【难度】★
【答案】

【例16】已知锐角三角形的边长分别为1，3，a,则a的取值范围是________
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解题策略 锐角三角形的任意一角的余弦均为正值
解

【例17】已知三边分别为，求的最大角。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】：不妨设分别为，比较法判断可知最大。
根据余弦定理得
所以，为钝角，必然是最大角
所以中最大的内角的度数是120°。

【例18】设的内角所对的边分别为，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【难度】★★
【答案】；

【例19】设的内角A、B、C的对边分别为.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求C.
【难度】★★★
【答案】；
【解析】(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.


【巩固训练】
1．下列命题中，不正确的是 （ ）
（A）若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角
（B）在中，若则
（C）在中，若一定是直角三角形
（D）任何三角形的三边之比不可能是1:2:3
【难度】★★
【答案】B

2．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【难度】★★
【答案】 C

3．已知的三边a、b、c满足，则为 （ ）
（A）30° （B）45°
（C）60° （D）120°
【难度】★★
【答案】 C

4．在中，，边上的中线长为 。
【难度】★★
【答案】
5．的三边a、b、c和面积，满足，试计算。
【难度】★★
【答案】

6． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若C=，求的值
【难度】★★
【答案】由余弦定理知得化简得

7． 中，，（1）求；（2）若，且，求 面积。
【难度】★★
【答案】，

8．已知半圆的直径为2，为直径延长线上一点，且。为半圆周上任意一点，以为边，作等边，角等于何值时，四边形的面积最大?最大面积为多少?
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】：为正三角形，则面积为，半径
过作垂直，则
由余弦定理：
设所求的四边形面积，则



三、 正弦定理、余弦定理的基本应用
（一）知识精讲
1、解三角形的一般规律：
(1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解；
(2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。
2、求三角形解的个数问题：
(1)已知两角与一边,由及，可求出角，再求、.
(2)已知两边、与其夹角，由，求出，再由余弦定理，求出角.
(3)已知三边、、，由余弦定理可求出角.
(4)已知两边、及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角，由，求出，再由求出，而通过求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：




>
一解
一解
一解
=
无解
无解
一解
<



两解
无解
无解

一解







无解
（见图示）．





=有一解 >>有两解 ≥ 有一解 >有一解
3、三角形中常见的结论
（1）在中是的充要条件
（2）
（3） （4）在中，

（二）典型例题
【例21】在三角形ABC中，若,则三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
【难度】★
【答案】C

【例22】在三角形ABC中，若,则这样的三角形可能有（ ）个。
A.0 B.1 C.2 D.3
【难度】★
【答案】C

【例23】△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【难度】★
【答案】A

【例24】在三角形ABC中，若且，则b=__________。
【难度】★
【答案】12

【例25】在中，（、、分别为角、、的对边)，则的形状为________.
【难度】★
【答案】直角三角形

【例26】在中，若，那么一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状不确定
【难度】★
【答案】B

【例27】设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且 ，, 则的取值范围为 （ ）.
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

【例28】已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，成立，求三角形ABC面积S的最大值。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】


【例29】在中，分别为内角的对边，且

（1）求的大小；
（2）求的最大值，并试判断取得最大值时的形状.
【难度】★★★
【答案】（1）由已知，根据正弦定理得
即，由余弦定理得，故
（2） 由（1）得
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。因为 ，又，得， 因为， 故
所以是等腰的钝角三角形。

【例30】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状
【难度】★★
【答案】方法一：
方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得


【例31】海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时测得一轮船在岛北偏东的C处，俯角为，11时10分又测得该船在岛的北偏西的B处，俯角为 。
（1）该船的速度为每小时多少千米？
（2）若此船以不变的航速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离开岛多少千米？
解题策略 在图中找出各时刻所对应的三角形，分别解三角形即可
【难度】★★
【答案】（1）在RT△AOB与RT△AOC中，求得OB=（千米），OC=(千米)，由余弦定理得BC=，于是航速v=(千米/时)
（2）在△OBC由余弦定理得cos∠OBC=
于是sin∠EBO=sin∠OBC=,
在△BEO中，由正弦定理得OE=

于是从B到E所需时间t=

【例32】设a,b,c分别是△ABC中A，B，C的对边，其外接圆半径为1，且
，b,c是方程
的两根（b>c）.
(1) 求角A的度数及 a,b,c的值
(2) 判定△ABC的形状，并求其内切圆的半径
【难度】★★★
【答案】（1）由韦达定理得b+c=3,bc=4cosA.
由正弦定理得sinB+sinC=3/2,sinBsinC=cosA
由
,
将代入上式得

即

由余弦定理得
(2)是直角三角形，易得其内切圆的半径为

【例33】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，（0°＜θ＜90°）且与点A相距海里的位置求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。
【难度】★★
【答案】（1）；（2）会进入。

【例34】在四边形中，若，四个角的度数之比为3：7：4：10，求的长。
【难度】★★
【答案】设四个角的度数分别为，则有，解得.连结，在中，由余弦定理得.
这时，则是以为斜边的直角三角形，∴..
在中，由正弦定理.∴.


【巩固训练】
1．若△的三个内角满足，则（ ）
.一定是锐角三角形 .一定是直角三角形
.一定是钝角三角形 .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角
【难度】★
【答案】C

2．在中，若，且，则的大小为 ．
【难度】★
【答案】

3．已知在中,若，则该三角形为____________________
【难度】★
【答案】等腰三角形

4．已知,则∠_________________________.
【难度】★
【答案】

5.在中，，,，则等于( )
　 A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对
【难度】★
【答案】C

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，若∠C=120°，，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小关系不能确定
【难度】★★
【答案】A

7．在中，已知角所对的边分别是，若，且，试判断的形状.
思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.
方法一：由正弦定理得，∵，
，由余弦定理的推论得
∴， 化简得，∴；
又∵，∴，
化简得，∴，∴，即是等边三角形.
方法二：∵，∴，又，
∴， ∴，
∴，∴，
∵，∴， ∴，
又∵，∴，即，
由余弦定理的推论得
又，，又，∴是等边三角形.

8．在中，角、、的对边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由
【难度】★★
【答案】（1）由 ,由正弦定理得

【解2】. 由，余弦定理得
整理得，

（2）正三角形

9．在中，若试判断的形状。
【难度】★★
【答案】解一：由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，
，或，或
，所以为等腰三角形或直角三角形。
解二：由已知条件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即
，，
为等腰三角形或直角三角形。

10．在中，若，，试判断的形状。
【难度】★★
【答案】方法一：由正弦定理，得。
,即，
代入上式，得展开，整理得：∴,∴，
∴，故，∴为正三角形.
方法二：由余弦定理，得，
∵, ，，
整理，得，∴. 从而，∴为正三角形。

11．在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在岛北东，俯角为的B处，到时分又测得该船在岛北西、俯角为的处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远？
【难度】★★
【答案】(1)在 
在。
在


（2）


在中，由正弦定理






解三角形技巧和注意事项：
（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；
（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；
（5） ①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．




1．已知的面积为，且，则等于
【难度】★
【答案】60°或120°

2．在△中，若,, ,则.
【难度】★
【答案】

3．在中，边，，则角的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】

4．在锐角中，角所对的边长分别为.若,则角等于
【难度】★★
【答案】

5．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则其顶角的正切值是 。
【难度】★★
【答案】

6．在中，若，那么三角形的形状为 。
【难度】★★
【答案】等腰直角三角形
7．在锐角中，若，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

8．在中，，则=________
【难度】★★
【答案】

9．在中，,则的面积等于_________.
【难度】★★
【答案】

10．在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积
【难度】★★
【答案】

11．在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．
【难度】★★
【答案】

12．已知的内角A,B,C的对边分别为，且,则B=
【难度】★★
【答案】

13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。
(1)角C的度数； (2)AB的长度。
【难度】★★
【答案】（1） C＝120°
（2）由题设：


14．在中，角所对的边分别为,已知
（1）求角的大小;
（2）若，求使面积最大时的值.
【难度】★★★
【答案】；，

15．在中，角所对边的长分别为，且.
（1）求的值；（2）求的值.
【难度】★★
【答案】（1）由正弦定理,得
（2）由余弦定理，得,所以
故
所以

16．已知函数．]
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
【难度】★★
【答案】（1），
则的最小值是－2， 最小正周期是；
（2），则， ，，，
，由正弦定理，得，①
由余弦定理，得，即， ②
由①②解得．

17．某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，由C处测得距C为31公里的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20公里后，到达D处，此时C、D间距离为21公里，问这人还走多少公里到达A城。
【难度】★★
【答案】如图BC=31公里，BD=20公里，CD=21公里
令∠ACD=α，∠CDB=β


18．如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【难度】★★★
【答案】解：（1）∵，
∴∴，
∴
根据得
（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则
∴∵即
∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。
（3）由正弦定理得（m）
乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则，∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内
法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．故乙步行的速度应控制在[，]范围内．