2019届二轮复习微积分初步学案（全国通用）
展开第三讲 微积分初步
一、知识方法拓展
1、曲边梯形的定义
我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。
2、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限
3、定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为()，在每个小区间上任取一点，作和式：
如果无限接近于(亦即)时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，
其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间， 是被积式。
说明：(1)定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数(时)记为，而不是．
(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
4、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1；
性质2；
性质3
5、定积分的几何意义
(1)从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。
(2)从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。
(3)从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。
(4)图中阴影部分的面积S=
6、微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。
计算定积分的关键是找到满足的函数。
7、常见定积分公式
(1)
(2)(C为常数)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
二、热身练习
【例1】计算下列各式：
(1)=_____________；
分析：78
(2)___________；
分析： 8
(3)=_____________；
分析：
(4)=____________；
分析：
【例2】已知 ,则=__________；
分析：
【例3】给出如下命题：
③ (为常数且)；
②；
③曲线，，与直线围成的两个封闭区域的面积之和为2．
其中真命题的个数为( )
A．0 B． C． D．
分析：B
【例4】等于( )
A． B． C． D．
分析：C
三、真题讲解
【例1】已知，求函数的最小值.
分析：
当时，最小=1 当时，最小=1
【例2】求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
分析：作出在上的图象如右
与轴交于0、、，所
求积
【例3】若y＝，则y的最大值是( )
A．1 B．2 C．－ D．0
分析：y＝＝
＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x＋
＝－cosx－(2cos2x－1)＋＝－cos2x－cosx＋
＝－(cosx＋1)2＋2≤2.
答案：B
【例4】若f(x)是一次函数，且，，那么dx的值是________．
分析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(ax2＋bx)＝a＋b＝5， ①
由xf(x)dx＝得 (ax2＋bx)dx＝，即
(ax3＋bx2) ＝，∴a＋b＝， ②
解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
于是dx＝dx＝ (4＋)dx
＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.
答案：4＋3ln2
【例5】设，
(1)求；
(2)设，求常数C，使得取得最小值；
(3)记(2)中的最小值为，证明：.
分析：(1)=
(2)若，则，显然，当，取最小；若，
则，当，取最小
故不妨设
=
由(1)可知，
因
所以
记
令，得
即，取最小值
(3)将代入
的右边，
由于，故，所以，即只需证明
令，则
函数单调递减且，所以，得证
四、重点总结
1、能快速反应出常见的微分公式
2、利用牛顿-莱布尼兹公式计算
3、利用微积分求曲边梯形面积
五、强化训练
A组
1、设，求。
分析：
2、已知f(x)为偶函数且，则等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
分析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，
∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即8×2＝16.
答案：D
3、函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B. C. D．2
分析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.
4、已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k=________.
分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2.
答案：2
5、设，求。
分析：令，则
6、求曲线，及所围成的平面图形的面积.
分析：作出，及的图如右
解方程组 得
解方程组 得
所求面积
7、若，求。
分析：令，则，
当时，
当时，
∴
从而
8、已知，求常数。
分析：左端
右端
∴
解之或。
B组
9、在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：
(1)切点的坐标；
(2)过切点的切线方程．
分析：(1)设切点，切线斜率为，
切线方程为，
令，得．
，
解得，切点的坐标为；
(2)将代入切线方程，得，
整理，得．
即所求切线方程为
答案：B
10、如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．
分析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)，
则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，
即(kx2－x3)＝(x3－kx2)，
解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，
解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．
11、设f(x)=
(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．
分析：(1)0≤a≤1时，
f(a)＝|x2－a2|dx
＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx
＝(a2x－x3)＋(－a2x)
＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3
＝a3－a2＋.
当a＞1时，
f(a)＝(a2－x2)dx
＝(a2x－x3)
＝a2－.
∴f(a)＝
(2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝.
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(a)＞0知：a＞或a＜0，
故在[0，]上递减，在[，1]上递增．
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.
综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为.
六、参考答案
A组
1、分析：
2、分析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，
∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即8×2＝16.
答案：D
3、分析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.
4、分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2.
答案：2
5、分析：令，则
6、分析：作出，及的图如右
解方程组 得
解方程组 得
所求面积
7、分析：令，则，
当时，
当时，
∴
从而
8、分析：左端
右端
∴
解之或。
B组
9、分析：(1)设切点，切线斜率为，
切线方程为，
令，得．
，
解得，切点的坐标为；
(2)将代入切线方程，得，
整理，得．
即所求切线方程为
答案：B
10、分析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)，
则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，
即(kx2－x3)＝(x3－kx2)，
解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，
解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．
11、分析：(1)0≤a≤1时，
f(a)＝|x2－a2|dx
＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx
＝(a2x－x3)＋(－a2x)
＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3
＝a3－a2＋.
当a＞1时，
f(a)＝(a2－x2)dx
＝(a2x－x3)
＝a2－.
∴f(a)＝
(2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝.
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(a)＞0知：a＞或a＜0，
故在[0，]上递减，在[，1]上递增．
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.
综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为.
