2019届二轮复习　等差数列与等比数列作业（全国通用） 练习

第八章　数列与数学归纳法

第1节　等差数列与等比数列

一、选择题

1.已知数列{an}满足2an=an+1(n∈N*),且前n项和为Sn,则的值为(　A　)

(A) (B) (C)4 (D)2

解析:由2an=an+1知{an}是等比数列,公比q=2,

===,故选A.

2.等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于(　C　)

(A)5 (B)6 (C)9 (D)11

解析:等差数列{an}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d,

则an=a1+(n-1)d=(n-3)d,若ak是a6与ak+6的等比中项,即有=a6ak+6,即为(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去),故选C.

3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记Sn是数列{an}的前n项和,则S5等于(　B　)

(A)32 (B)62 (C)27 (D)81

解析:设等比数列{an}的公比为q,由a2,a4+2,a5成等差数列可知,a2+a5=2(a4+2),

即2q+2q4=2(2q3+2),

q+q4=2q3+2,q(1+q3)=2(q3+1),

又等比数列{an}各项均为正数,

所以q>0,从而q=2,S5==62,选B.

4.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3-+a11=0,数列{bn}为等比数列,且b7=a7,则b1·b13等于(　A　)

(A)16 (B)8 (C)4 (D)25

解析:由a3-+a11=0,得2a7-=0,a7=4,

所以b7=4,b1·b13==16,选A.

5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个实根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于(　C　)

(A)1 (B) (C) (D)

解析:设这个方程的四个实根为x1<x2<x3<x4,

则x1+x4=x2+x3=2,

所以x1=,

所以4×+d=4,d=,

所以x2=,x3=,x4=,

m=x1x4=,n=x2x3=,

所以|m-n|=.

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-20,且Sn的最小值仅为S6,则等差数列{an}的公差d的取值范围是(　D　)

(A)(,) (B)(,)

(C)(,4) (D)(,4)

解析:a6=a1+5d=-20+5d<0,a7=a1+6d=-20+6d>0,解得<d<4,选D.

二、填空题

7.在等差数列{an}中,a2=4,且1+a3,a6,4+a10成等比数列,则公差d=　　　　,数列{an}的前n项和Sn=　　　　. 

解析:因为1+a3,a6,4+a10成等比数列,

所以=(1+a3)(4+a10),

因为a6=a2+4d,a3=a2+d,a10=a2+8d,

所以(4+4d)2=(5+d)(8+8d),

解得d=3或d=-1,

当d=-1时,a6=0不符合等比数列,故d=3.

则a1=1,Sn=n+×3=.

答案:3　

8.已知等比数列{an}中,a3+a5=8,a1a5=4,则=　　　　. 

解析:在等比数列{an}中,a1a5==4,a3=±2.

当a3=-2时,a5=10,

此时=a3a5=-20<0,不合题意,舍去;

当a3=2时,因为a3+a5=8,

所以a5=6,q2==3,

所以=q4=9.

答案:9

9.已知等比数列{an}的公比q>0,前n项和为Sn,若2a3,a5,3a4成等差数列,a2a4a6=64,则an=　　　　,Sn=　　　　. 

解析:因为a2a4a6=64,

所以=64,所以a4=4,

又2a3+3a4=2a5,2×+3×4=2×4×q,

即2q2-3q-2=0,q=-(舍去)或q=2.

a1=,an=×2n-1=2n-2,

Sn==.

答案:2n-2　

10.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=　　　　. 

解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=8+6+4+2+0+2+4+…+20=130.

答案:130

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　; 

解析:法一　设等差数列{an}的公差为d,

由题意可得

解得d=,a1=,

则S30=30×+×=+=60.

法二　因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,

所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),

所以40=10+S30-30,所以S30=60.

答案:60

12.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,Bn=anbn.若A1=1,A2=3,则An=　　　　;若{Bn}为等差数列,则d1d2=　　　　. 

解析:因为{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,

所以数列{An}是等差数列,又A1=1,A2=3,

所以数列{An}的公差d=A2-A1=2,则An=2n-1;

因为Bn=anbn,且{Bn}为等差数列,

所以Bn+1-Bn=an+1bn+1-anbn

=(an+d1)(bn+d2)-anbn

=and2+bnd1+d1d2

=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2

=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n.为常数.

所以d1d2=0.

答案:2n-1　0

三、解答题

13.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.

解:(1)由已知a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项,

有2a2=a1+(a3-1)=a3,

所以q==2,故an=a1qn-1=2n-1.

(2)由bn=2n-1+an(n∈N*)有bn=2n-1+2n-1,

则Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]

=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1.

14.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.证明数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.

解:在Sn=-an-()n-1+2中,

令n=1,可得a1=S1=-a1-1+2,

解得a1=.

当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2,

所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1,

即2an=an-1+()n-1,

所以2nan=2n-1an-1+1.

而bn=2nan,所以bn=bn-1+1,

即当n≥2时,bn-bn-1=1.

又b1=2a1=1,

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列,于是bn=1+(n-1)×1=n,所以an=.

15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围.

解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q,

由题意可得0<q<1.

因为S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列,

所以a1+a2+a3=14,8a2=a1+13+a3+9,

联立解得a2=4,代入a1+a2+a3=14,

可得+4+4q=14,

解得q=或q=2(舍去),

所以a1==8,

所以数列{an}的通项公式为an=8×()n-1=()n-4.

(2)由(1)知bn=an·(n+2-λ)=(n+2-λ)·()n-4,

因为数列{bn}是递减数列,

所以bn>bn+1,

即(n+2-λ)·()n-4>(n+3-λ)·()n-3,

所以n+2-λ>(n+3-λ),

所以λ<n+1.

因为上式对任意正整数n都成立,

所以实数λ的取值范围为(-∞,2).