2019届二轮复习 等差数列和等比数列 作业（全国通用） 练习

第六单元等差数列和等比数列（滚动提升）

一．选择题

1．（2018•榆林二模）在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1等于（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1

【答案】A

2（2018•宁城县一模）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（　　）

A．1235 B．1800 C．2600 D．3000

【答案】：A

【解析】∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．

驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，

∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：

S4=（4×193+）+[4× =1235．

故选：A．

3．（2018•宝鸡二模）已知等差数列{an}的公差为3，若成等比数列，则a2=（　　）

A．﹣9 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10

【答案】A

【解析】：∵a1，a3，a4成等比数列，

∴，

∴，

解得a1=﹣12．

∴a2=﹣12+3=﹣9．

故选：A．

4．（2018•四平模拟）在公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（　　）学 =

A．2 B．4 C．8 D．1

【答案】：B

【解析】∵数列{an}为等差数列，∴2a7=a3+a11，

∵2a3﹣a72+2a11=0，∴4a7﹣a72=0∵a7≠0∴a7=4

∵数列{bn}是等比数列，∴b6b8=b72=a72=16∴log2（b6b8）=log216=4故选：B．

5（2018•一模拟）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（　　）

A．a5是常数 B．S5是常数 C．a10是常数 D．S10是常数

【答案】D

【解析】：∵等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，

∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，

∴a1+a10=9，

∴=45．

故选：D．

6. （2018•上城区校级模拟）各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（　　）

A． B． C． D．或

【答案】：A

【解析】设{an}的公比为q（q＞0），学         

由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，

解得q=．

∴则 ==．故选：A．

7．（2018•江西二模）已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】：A

8（2018•上海模拟）已知数列{an}、{bn}、{cn}，以下两个命题：

①若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，则{an}、{bn}、{cn}都是递增数列；

②若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，则{an}、{bn}、{cn}都是等差数列；

下列判断正确的是（　　）

A．①②都是真命题 B．①②都是假命题

C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题

【答案】D

【解析】：对于①不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，

∴{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是递增数列，但cn=sinn不是递增数列，故为假命题，

对于②{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，

∴an+bn﹣an﹣1﹣bn﹣1=a，bn+cn﹣bn﹣1﹣cn﹣1=b，an+cn﹣an﹣1﹣cn﹣1=c，

设{an}，{bn}、{cn}的公差为x，y，x，

∴

则x=，y=， =，

故若{an+bn}、{bn+cn}、{an+cn}都是等差数列，则{an}、{bn}、{cn}都是等差数列，故为真命题，

故选：D

9. （2018•玉林一模）已知数列{an}中an=（n∈N ），将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成数列{bn}，则b2018的值为（　　）

A．5035 B．5039 C．5043 D．5047    . 

【答案】：C

【解析】由an=（n∈N ），n∈N ，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…．

an的整数项为：，，，，，，…．

即整数：2，3，7，8，12，13，…．

其规律就是各项之间是+1，+4，+1，+4，+1，+4这样递增的，

∴b2n﹣1=2+5（n﹣1）=5n﹣3，

b2n=3+5（n﹣1）=5n﹣2．

由2n=2018，解得n=1009，

∴b2018=5×1009﹣2=5043．

故选：C．

10．（2018•唐山二模）设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y， ，则下列等式中恒成立的是（　　）

A．2X+ =3Y B．4X+ =4Y C．2X+3 =7Y D．8X+ =6Y

【答案】：D

【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn=An2+Bn，

则X=An2+Bn，Y=4An2+2Bn， =16An2+4Bn，

于是8X+ ﹣6Y=8（An2+Bn）+16An2+4Bn﹣6（4An2+2Bn）=0，

∴8X+ =6Y，因此D正确．

经过代入验证可得：2X+ ≠3Y，4X+ ≠4Y，2X+3 ≠7Y，

故选：D．

11．（2018•广东二模）已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（　　）

A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81

【答案】：B

12．（2018•宜宾模拟）设x=1是函数f（x）=an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1（n∈N+）的极值点，数列{an}，a1=1，a2=2，bn=log2a2n，若[x 表示不超过x的最大整数，则[++…+ =（　　）

A．1008 B．1009 C．2017 D．2018

【答案】：A

【解析】函数f（x）=an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1（n∈N+）的导数为    . 

f′（x）=3an+1x2﹣2anx﹣an+2，

由x=1是f（x）=an+1x3﹣anx2﹣an+2x的极值点，

可得f′（1）=0，即3an+1﹣2an﹣an+2=0，

即有2（an+1﹣an）=an+2﹣an+1，

设cn=an+1﹣an，可得2cn=cn+1，

可得数列{cn}为首项为1，公比为2的等比数列，

即有cn=2n﹣1，

则an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）

=1+1+2+…+=2n﹣2

=1+=2n﹣1，

则bn=log2a2n=2n﹣1，

可得++…+

=2018×（++…+）

=2018××（1﹣+﹣+…+﹣）

=1009×（1﹣）=1008+，

则[++…+ =1008．

故选：A．

二．填空题（共21小题）

13（2018•齐齐哈尔三模）等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，对任意的n∈N ，总存在 ∈N ，使a =Sn，则 ﹣2n的最小值为　　．

【答案】：-4

【解析】由Sn=a ，令n=2，

则S2=2a1+d=a =a1+（ ﹣1）d，得，

∵首项a1＞0，公差d＜0，

∴ ＜2，又∵ ∈N ，∴ =1，d=﹣a1，

∴当d=﹣a1时，由Sn=a ，得=a1+（ ﹣1）（﹣a1），

即，

因此，当且仅当n=3或4时， ﹣2n取最小值﹣4．

故答案为：﹣4．

14．（2018•日照二模）记等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差为4，若a4+a5=24，则Sn=　．

【答案】：2n2﹣4n　

【解析】由已知可得，解得．

∴．

故答案为：2n2﹣4n．

15．（2018•绍兴一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2=S6，，则a1=　　，公差d=　　．

【答案】：﹣14，4．

【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵S2=S6，，

∴2a1+d=6a1+d，a1+2d﹣（a1+d）=2，

联立解得a1=﹣14，d=4．

故答案为：﹣14，4．

16（2018•赣州一模）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S9=45，对∀n∈N ，都有t＞，则实数t的最小值为　　．

【答案】：2

故答案为：2．

三．解答题（共10小题）

17．（2018东城区一模）已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，若a1=9，S3=21．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a5，a8，S 成等比数列，求 的值．

【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）由a5，a8，S 成等比数列，得，由此能求出 ．

【解析】：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，a1=9，S3=21．

∴，

解得d=﹣2，

∴an=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．

（Ⅱ）∵a5，a8，S 成等比数列，

∴，

即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）•[9 + ，

解得 =5．

18．（2018•包头一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）设bn=an+3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an．

【分析】（1）由Sn=2an﹣3n（n∈N+）．能求出a1，a2，a3的值．

（2）由Sn=2an﹣3×n，求出an+1=2an+2，从而能证明数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，由此能求出通项公式an．

【解析】：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．

∴n=1时，由a1=S1=2a1﹣3×1，解得a1=3，

n=2时，由S2=2a2﹣3×2，得a2=9，

n=3时，由S3=2a3﹣3×3，得a3=21．

（2）∵Sn=2an﹣3×n，∴Sn+1=2an+1﹣3×（n+1），

两式相减，得an+1=2an+2，

把bn=an+3及bn+1=an+1+3，代入 式，

得bn+1=2bn，（n∈N ），且b1=6，

∴数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，

∴bn=6×2n﹣1，

∴．

19（2018福建模拟）某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入 40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80 万元，同时，当预计投入的资金低于 20 万元时，就按 20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．

（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；

（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）

【分析】（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为an万元，bn万元，根据题意可得{an}是首项为1000，公比为的等比数列，{bn}是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决，

（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和等比数列的求和公式得到Sn，再根据数列的函数特征，即可求出答案．

【解析】：（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为an万元，bn万元，

依题意得，当投入的资金不低于20万元，即an≥20，an=an+1bn=bn+1+80，n≥2，

此时{an}是首项为1000，公比为的等比数列，

{bn}是首项为40，公差为80的等差数列，

所以an=1000×（）n﹣1，bn=80n﹣40，

令an＜20，得2n﹣1＞50，解得n≥7    . 

所以an=，

（Ⅱ）Sn=﹣=2000×（）n+40n2﹣2000， 学   。X。X。 

所以Sn﹣Sn﹣1=﹣2000×（）n+80n﹣40，n≥2，

因为f（x）=﹣2000×（）x+80x﹣40为增函数，f（3）＜0，f（4）＜0，

所以当2≤n≤3时，Sn+1＞Sn，当4≤n≤6时，Sn+1＜Sn，

又因为S1＜0，S6=﹣528.75＜0，

所以1≤n≤6，Sn＜0，即前6年未盈利，

当n≥7，Sn=S6+（b7﹣a7）+（b8﹣a8）+…+（bn﹣an）=﹣528.75+420（n﹣6），

令Sn＞0，得n≥8

综上，预计公司从第8年起开始盈利．

20．（2017•河北区一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N ．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Pn．

【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，bn=Tn﹣Tn﹣1，求出bn；

（Ⅱ）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．

【解析】：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

由题意，得，

解得，

∴an=4n，

∵Tn﹣2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，

两式相减，得bn=2bn﹣1，（n≥2）

则数列{bn}为等比数列，

∴；                       

（Ⅱ）．

当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an﹣1）+（b2+b4+…+bn）

=．           

当n为奇数时，

（法一）n﹣1为偶数，Pn=Pn﹣1+cn=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，

（法二）Pn=（a1+a3+…+an﹣2+an）+（b2+b4+…+bn﹣1）

=．

∴．

　21．（2018•广西一模）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N ）．

（1）求证：{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；

（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）••an，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（1）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；学 =

（2）利用错误相减法即可求出数列的和．

【解析】（1）∵a1=1，an+1═，

∴，

即==3（+），

则{+}为等比数列，公比q=3，

首项为，

则+=，

即=﹣+=，即an=．

（2）bn=（3n﹣1）••an=，

则数列{bn}的前n项和Tn=①

=+…+②，

两式相减得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，

则 Tn=4﹣．

22（2018•郴州二模）已知等差数列{an}．满足：an+1＞an（n∈N ），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=﹣1．

（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

【分析】（Ⅰ）设d、为等差数列{an}的公差，且d＞0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解bn．

（Ⅱ）写出利用错位相减法求和即可．

（Ⅱ）…①，

…②，

①﹣②，得

．…（10分）

∴…（12分）