2021高考数学大一轮复习考点规范练6函数的单调性与最值理新人教A版

考点规范练6　函数的单调性与最值

　考点规范练B册第4页　 

基础巩固

1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)

A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-

答案:B

解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.

2.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)

A.单调递增 B.单调递减 

C.先增后减 D.先减后增

答案:B

解析:因为函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.

所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0.

故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.

3.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

答案:B

解析:由f(x)在R上是增函数,则有

解得4≤a<8.

4.(2019天津河西区一模)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为(　　)

A.(-∞,1) B.(1,+∞) 

C.(-∞,-1) D.(3,+∞)

答案:C

解析:要使函数f(x)有意义,则x2-2x-3>0,即x>3或x<-1.设u=x2-2x-3=(x-1)2-4,当x>3时,函数u=x2-2x-3单调递增;当x<-1时,函数u=x2-2x-3单调递减.因为函数y=lnu在定义域上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).

5.函数f(x)=在(　　)

A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数

B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数

C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数

D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数

答案:C

解析:由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},

f(x)=-1.

又根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.

6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x时,f(x)=ex+sin x,则(　　)

A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(1)

C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)

答案:D

解析:由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3).

由f(x)=ex+sinx,得函数f(x)在内单调递增.

又-<π-3<1<π-2<,

∴f(π-2)>f(1)>f(π-3).

∴f(2)>f(1)>f(3).

7.(2019河南新乡月考)若函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)内单调递增,则f(a+2)与f(3)的大小关系为(　　)

A.f(a+2)>f(3) B.f(a+2)<f(3)

C.f(a+2)=f(3) D.不能确定

答案:A

解析:由题意可知,函数f(x)=loga|x-1|的图象关于直线x=1对称,因为f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以0<a<1,所以2<a+2<3.所以f(a+2)>f(3).

8.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞) C D

答案:D

解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.

∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,

∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.

解得-<a≤2.

∴实数a的取值范围是故选D.

9.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 

答案:3

解析:因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

10.设函数f(x)=

(1)若a=0,则f(x)的最大值为　　　　　; 

(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

答案:(1)2　(2)(-∞,-1)

解析:令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.

由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.

可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).

又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象,如图所示.

(1)当a=0时,f(x)=可知f(x)的最大值是f(-1)=2.

(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1).

能力提升

11.已知函数f(x)=的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)

A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案:B

解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,

2.∴f(x)的值域为[2,+∞).

∵y1=在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),

∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.

12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

答案:D

解析:由题意可得a>x-(x>0).

令f(x)=x-,函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.

13.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为(　　)

A.[1,+∞) B.[0,] C.[0,1] D.[1,]

答案:D

解析:因为函数f(x)=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.

又当x≥1时,x-1+,

令g(x)=x-1+(x≥1),

则g'(x)=

由g'(x)≤0得1≤x,即函数x-1+在区间[1,]上单调递减,

故“缓增区间”I为[1,].

14.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　. 

答案:(-∞,1]∪[4,+∞)

解析:画出f(x)=的图象,如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.

故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).

15.已知f(x)=(x≠a).

(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;

(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

(1)证明当a=-2时,f(x)=(x≠-2).

设任意的x1,x2∈(-∞,-2),

且x1<x2,

f(x1)-f(x2)=

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).

∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

(2)解任设1<x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,

只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.

综上所述,a的取值范围是(0,1].

高考预测

16.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0

答案:C

解析:当x时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.

依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.