【数学】上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试试题
展开上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学
高二年级数学期末质量调研
（满分150分，时间120分钟）
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．抛物线的焦点坐标为 .
2．平面直角坐标系中点到直线的距离为 ．
3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是 .
4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．
5．侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为 .
6．双曲线的两条渐近线的夹角大小为 .
7．底面半径和高均为的圆柱的表面积为 ．
8．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 ．
9．已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和的一个法向量分别为，，则 ．(结果用反三角函数值表示)
10．二项式的展开式中各项系数的和是 ．
11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度
为 厘米．
12．已知定点，点在抛物线上运动，若复数在复平面内分别对应点的位置，且，则的最小值为 ．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ ）．
(A)
(B)
(C)
(D)
14.“”是“直线与直线相互垂直”
的 ……………………………………………………………………………（ ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15．曲线的图像………………………………………………( )．
(A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称
(C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称
16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．
(A) 若、，，则．
(B) 若，则不成立．
(C) ，，则或．
(D) ，，则且．
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.
如图，长方体中，，直线与平面所成的角的大小为．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知的二项展开式中，第三项的系数为．
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）．
20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
已知椭圆的左右顶点分别是，点在椭圆上．过该椭圆上任意一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹的方程；
（3）设直线（点不同于）与直线交于，为线段的中点，证明：直线与曲线相切．
21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围．
参考答案
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器．
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．抛物线的焦点坐标为 .
2．平面直角坐标系中点到直线的距离为 ．
3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是 .
4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．
5．侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为 .
6．双曲线的两条渐近线的夹角大小为 .
7．底面半径和高均为的圆柱的表面积为 ．
8．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 ．
9．已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和的一个法向量分别为，，则 ．(结果用反三角函数值表示)
10．二项式的展开式中各项系数的和是 ．
11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．6
12．已知定点，点在抛物线上运动，若复数在复平面内分别对应点的位置，且，则的最小值为 ．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）．
(A)
(B)
(C)
(D)
14.“”是“直线与直线相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15．曲线的图像………………………………………………( )．
(A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称
(C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称
16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．
(A) 若、，，则．
(B) 若，则不成立．
(C) ，，则或．
(D) ，，则且．
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
解: （1） ………………………………………………………………2分
于是 …………………………4分
又 ，所以 ，解得：. …………6分
所以实数的取值范围为. …………………………………………………7分
（2）因为（）是方程的一个根，
（）也是此方程的一个根，…………………………………………9分
于是 …………………………………………………11分
解得 或，且满足……………………13分
所以或 ……………………………………………………………14分
18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.
如图，长方体中，，直线与平面所成的角的大小为．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
解：（1）联结，
因为，
所以就是直线与平面所成的角，………………………………2分
所以，所以 ……………………………………………4分
所以…………………………………………7分
（2）联结，
因为，所以
所以就是异面直线与所成的角或其补角………………………10分
在△中，
所以……………………………………………………………13分
所以异面直线与所成角的大小是…………………………………14分
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知的二项展开式中，第三项的系数为．
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）．
解：（1）…………………………………2分
，……………………………………………4分
所以前三项分别为，，
……………………………………………………7分
所以前三项系数分别为，即前三项系数成等差数列……………………8分
（2）……………10分
时，展开式中的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：、、……………………………………………………………14分
20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
已知椭圆的左右顶点分别是，点在椭圆上．过该椭圆上任意一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹的方程；
（3）设直线（点不同于）与直线交于，为线段的中点，证明：直线与曲线相切．
解：（1）由题意可知且，……………………2分
所以椭圆方程为……………………4分
（2）设，则由可得， ………………………………6分
又在椭圆上，可知，……………………………9分
所以动点的轨迹的方程是……………………………………………10分
（3）设，，由题意可知三点共线，所以，
因为，，则，即，
…………………………………………………………………………12分
，从而，又，
故
…………………………………14分
则圆心到直线的距离 …………………………………15分
所以直线与曲线相切 …………………………………………………………16分
21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分．
在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围．
解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………2分
∵ ∴ ∴ 曲线方程是…………………4分
（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、
此时…………………………………………………6分
当不平行于轴时，设其斜率为，
则由 得
设则有，……………………8分
∴
……………………………10分
（3）设
∴ ………………………………12分
∵
∴
∵，化简得………………………………14分
∴……………………………………14分
当且仅当 时等号成立………………………………16分
∵
∴当的取值范围是………18分
