【数学】河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年高二期末考试试卷（解析版）
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高二期末考试试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．已知p：2x－3<1，q：x2－3x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．抛物线y＝x2的焦点坐标为( )
A．(，0) B．(0,1) C． (－，0) D．(0，－1)
3.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A． (－12,0) B．(－3,0) C．(－∞，0) D．(－60，－12)
5．下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋1>0”是全称命题；③若p：∃x∈R，x2＋2x＋1≤0，则p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋1≤0.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )
A．1或0 B．0 C．1 D．1或3
8．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C. D．2
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点EF分别是
棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
11．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
12．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1·k2等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．
14．椭圆＋y2＝1的两个焦点F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝______.
15．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
16．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，
则AC1与平面ABCD所成角的余弦值 为________．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．
18．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
19．(12分)抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
20．(12分)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21.(12分)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点．
求证：DM∥平面PFB.
22.(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
参考答案
1-12、DBCAB DACCB DA
1.解析 p：x<2，q：0<x<3.∴pD⇒/q，qD⇒/p.∴p是q的既不充分也不必要条件．
答案 D
2.解析 由y＝x2，得x2＝4y，∴焦点坐标为(0,1)． 答案 B
3.答案C
4.解析 由＋＝1表示双曲线知，k<0，且a2＝4，b2＝－k，∴e2＝＝，
∵1<e<2，∴1<<4. ∴4<4－k<16，∴－12<k<0. 答案 A
5.解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p：∀x∈R，x2＋2x＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确． 答案 B
6.答案D
7解析 验证知，当k＝0时，有⇒适合题意．
当k＝1时，有解得也适合题意， ∴k＝0或1. 答案 A
8.解析 设双曲线的焦距为2c，由双曲线方程知c2＝3＋，则其左焦点为(－，0)．
由抛物线方程y2＝2px知其准线方程为x＝－，
由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋＝，且p>0，解得p＝4.
答案 C
9.解析 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝，|PF2|＝.
又|PF2|≥c－a，即≥c－a.∴≤.即e≤. 答案 C
10.解析 建立空间直角坐标如图所示．
设AB＝2，则＝(0，－1,1)．
＝(2,0,2)，∴cos〈·〉＝＝＝，故EF与BC1所成的角为60°.
答案 B
11.解析 直线y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，所以与①不相交．
②中圆心(0,0)到直线2x＋y＋3＝0的距离d＝<.所以与②相交．把y＝－2x－3代入＋y2＝1，得＋4x2＋12x＋9＝1，即9x2＋24x＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，选D.
答案 D
12.解析 设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝，而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝.
∴k2＝＝－，∴k1·k2＝－. 答案 A
13.答案 任意一个三角形都有外接圆
解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”
14.答案7/2 15.答案 －14 8
16.答案
解析 由题意知，AC1＝＝3，AC＝＝2，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝＝.
17.解 椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，离心率为e1＝.由题意可知双曲线的焦点为(0，±)，离心率e2＝，∴双曲线的实轴长为6.
∴双曲线的方程为－＝1.
18.解 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，依题意c＝，∴方程可以化为－＝1，
由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2、y2)，则x1＋x2＝，∵＝－，∴＝－，解得a2＝2. ∴双曲线的方程为－＝1.
19.解 显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程化简，得x2＋2kx－2＝0.由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4(k2＋2)>0，于是有k∈R.
设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则＋＝1.①
因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，代入① ，得2k－(＋)＝1.②
又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.
20.解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c由已知得
解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．由已知得＝e2.
而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①由点P在椭圆C上得y＝，
代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，它是两条平行于x轴的线段．
21.证明 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC与平面ABCD所成的角为45°，即∠PCD＝45°，得PD＝2，则P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，F(1,0,0)，D(0,0,0)，M(0,1,1)，
∴＝(1,2,0)，＝(－1,0,2)，＝(0,1,1)．设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴即令y＝1，则x＝－2，z＝－1.
故平面PFB的一个法向量为n＝(－2,1，－1)．∵·n＝0，∴⊥n.
又DM⊄平面PFB，则DM∥平面PFB.
22.解 (1)证明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1，
所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE，
故平面ADE⊥平面ACC1A1.
(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AA1＝，则AB＝2，故A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，),D(，－，)．
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝(，，)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
