2020年中考数学一轮复习基础考点专题01有理数（含解析）

专题01有理数

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 有理数基础概念

    有理数（概念理解）

正数：大于0的数叫做正数。

负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。

有理数的分类（两种）（见思维导图）

    数轴  

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

    数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）

任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

    数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

【注意】

1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。

    相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）

    绝对值

绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。

绝对值的意义：

正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。）

    比较大小

1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3）两个负数比较，绝对值大的反而小。

4）两个正数比较，绝对值大的反而大。

常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。

1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 (     )

A．|+2|与|-2| B．-|+2|与+(-2) C．-(-2)与+(+2) D．|-(-3) |与-|-3|

【详解】

解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；
B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；
C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；
D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．
故选：D．

2．（2019·四川中考真题）一定是

A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确

【详解】

∵a可正、可负、也可能是0

∴选D.

3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（　　）

A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点B D．点B和点D

【详解】

A、B、C、D所表示的数分别是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A．

4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0

【详解】

根据数轴，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，

A、应为a＜b，故本选项错误；

B、应为|a|＜|b|，故本选项错误；

C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴﹣a＜b正确，故本选项正确；

D、应该是a+b＞0，故本选项错误．

故选C．

5．（2019·甘肃中考真题）已知，是2的相反数，则的值为(　　)

A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3

【详解】

∵，是2的相反数，

∴或，，

当时，；

当时，；

综上，的值为-1或-3，

故选：C．

考察题型一 绝对值非负性应用

1．（2016·山东中考真题）当1<a<2时，代数式|a－2|＋|1－a|的值是（　　）

A．－1 B．1 C．3 D．－3

【详解】

解：当1＜a＜2时，

|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．

故选B．

2．（2019·山东中考模拟）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是(    )

A．2a－b B．b C．－b D．－2a+b

【详解】

根据数轴可以判断出，

则，，

所以

所以选C.

3．（2017·广西中考模拟）若，那么的值是          （    ）

A．2或12 B．2或-12 C．-2或12 D．-2或-12

【详解】

由可得x=±7，由可得y=±5，

由可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，

则，

故选：A

4．（2018·浙江中考模拟）如果|a|≥0，那么（　　）

A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意数

【详解】

解：∵

∴a为任意数，

故选：D．

5．（2017·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y的相反数．

【详解】

∵|x﹣2|+|y+2|=0，

∴x﹣2=0，y+2=0，

解得x=2，y=﹣2，

∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，

∴x﹣y的相反数是﹣4．

6.（2017·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：

（1）a+b的值；

（2）|a|+|b|的值．

【详解】（1）由题意得，a+3=0，b﹣5=0，

解得a=﹣3，b=5，

所以，a+b=﹣3+5=2；

（2）|a|+|b|=|﹣3|+|5|=3+5=8．

考查题型二 有理数比较大小

1．（2018·山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（　　）

A．b为正数，c为负数 B．c为正数，b为负数

C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数

【解析】

由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，

如果假设两负一正情况合理，

要使a+b+c=0成立，

则必是b＜0、c＜0、a＞0，

否则a+b+c≠0，

但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，

于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，

若a，b为正数，c为负数时，

则：|a|+|b|＞|c|，

∴a+b+c≠0，

∴A被否定，

若a，c为正数，b为负数时，

则：|a|+|c|＞|b|，

∴a+b+c≠0，

∴B被否定，

只有C符合题意．

故选：C．

2．（2019·北京中考模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（　　）

A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．

【详解】

∵a+b=0，

∴原点在a，b的中间，

如图，

由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，=-1，

故选C.

12．（2019·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是(　　)

①b＜0＜a； ②|b|＜|a|； ③ab＞0； ④a﹣b＞a+b．

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

【解析】

由图知，b<0<a，故①正确，因为b点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b，所以④正确.

故选：B.

4．（2018·湖北中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（　　）

A．0    B．﹣1    C．0.5    D．（﹣1）2

【详解】根据有理数比较大小的方法，可得

﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，

∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．

故选B．

5．（2018·山东中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0

【详解】

从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；

A、|a|＞|b|，故选项正确；

B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；

C、b＜d，故选项正确；

D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．

故选：B.

知识点二 有理数四则运算

    有理数的加法（重点）

有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）

4.一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即；

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即。

    有理数的减法

有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即。

注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。

    有理数的加减混合运算

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤：（1）减法化加法；

     （2）省略括号和加号；

 （3）运用加法运算律使计算简便；

     （4）运用有理数加法法则进行计算。

 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：

（1）同号的先结合；

（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；

（3）互为相反数的两数相结合；

（4）能凑成整数的两数相结合；

（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

    有理数的乘法（重点）

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）

多个有理数相乘的法则及规律：

（1）       几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；

负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。

    有理数的乘法运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即。

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

即。

    有理数的除法

有理数除法法则：

（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。

（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数，都得0。

步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。

    有理数的乘除混合运算

运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。

（注：带分数应首先化为假分数进行运算）

    有理数的四则混合运算

运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。

注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律

1．（2018·江苏中考模拟）计算：|–5+3|的结果是（    ）

A．–8    B．8    C．–2    D．2

【解析】

原式=|-2|=2，

故选：D．

2.（2019·浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（    ）

A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四

【详解】

星期一温差：10﹣3＝7℃；

星期二温差：12﹣0＝12℃；

星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃；

星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃；

综上，周三的温差最大.

故选C．

3．（2018·四川中考模拟）如果a，b是有理数，那么下列各式中成立的是（    ）

A．如果a<0，b<0，那么a＋b>0    B．如果a>0，b<0，那么a＋b>0

C．如果a>0，b<0，那么a＋b<0    D．如果a>0，b<0，且|a|>|b|，那么a＋b>0

【解析】

解：A、∵同号两数相加取与加数相同的符号，∴a+b<0,故选项错误；

B、如a=1,b=-2时，a+b=-1<0，故选项错误；

C、如a=3,b=-2时，a+b＝１>0，故选项错误；

D、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选项正确．

故选D．

4．（2019·辽宁中考模拟）计算的正确结果是（　　）

A． B．- C．1 D．﹣1

【详解】

原式

故选：D.

5．（2017·山东中考真题）计算－(－1)＋|－1|，其结果为( )

A．－2 B．2 C．0 D．－1

【解析】

试题分析：由题可得：原式=1+1=2，

故选：B．

6．（2018·辽宁中考模拟）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．﹣1或1

【详解】

∵两个非零有理数的和为零，

∴这两个数是一对相反数，

∴它们符号不同，绝对值相等，

∴它们的商是-1，

故选A．

7．（2019·内蒙古中考模拟）若的倒数与互为相反数，则的值是（     ）

A．1 B． C．2 D．

【详解】

的倒数与m+4互为相反数，得

m+4=2，

解得m=−2，

故选：D.

8．（2018·天津中考模拟）-6÷的结果等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36

【详解】

解：原式=﹣6×6=﹣36

故选：D．

8．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）－2×（－5）的值是　　

A．－7 B．7 C．－10 D．10

【详解】

﹣2×（﹣5）=+(2×5)=10.

故选D.

9．（2019·天津中考模拟）计算（–18）÷（–6）的结果等于

A．3 B．–3 C． D．−

【详解】

=3

考查题型三 与绝对值有关的分数化简

1．（2018·福建中考模拟）若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【详解】

由分析知：可分4种情况：

①a＞0，b＞0，此时ab＞0，

所以=1+1+1=3；

②a＞0，b＜0，此时ab＜0，

所以=1﹣1﹣1=﹣1；

③a＜0，b＜0，此时ab＞0，

所以=﹣1﹣1+1=﹣1；

④a＜0，b＞0，此时ab＜0，

所以=﹣1+1﹣1=﹣1；

综合①②③④可知：代数式的值为3或﹣1，

故选A．

2．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解析】

解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；

②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；

设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；

设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；

③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；

设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；

设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；

④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．

综上所述：的可能值的个数为4．

故选A．

3.．（2019·四川初一期中）有理数a，b．c满足abc＜0，的值为（　）

A．1或﹣3 B．﹣4 C．0 D．0或﹣4

【详解】

解：∵abc＜0，

∴当有理数a，b，c中有一个数小于0时，，

当有理数a，b，c中三个数都小于0时，，

故选：D．

考察题型四 有理数乘法运算律的应用

1．（2018·贵州中考真题）计算+++++……+的值为（　　）

A． B． C． D．

【解析】

原式=

=，

=1-

=．
故选：B．

2．（2019·河北中考模拟）利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是

A．–999×（52+49）=–999×101=–100899

B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900

C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898

D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998

【详解】

原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－99900．

故选B

3．（2016·河北中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

（1）999×（-15）；

（2）999×+999×（）-999×.

【详解】

试题分析：根据题目中所给的规律，第一题凑整法，第二题提同数法解决即可.

试题解析：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985;

（2）999×+999×（）-999×=999×[+（）-]=999×100=99900.

知识点三 有理数的乘方

    乘方（重点）

一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。

当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。

乘方的规律：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

有理数乘方的运算方法：

1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。

    有理数的混合运算

运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算,从左到右进行；

（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。

    科学记数法

把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）

把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。

    近似数和有效数字

在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。

1．（2018·丹东第九中学中考模拟）下列算式中，运算结果为负数的是(    )

A．|-1|    B．(-2)3    C．(-1)×(-2)    D．(-3)2

【解析】

本题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算．

详解：A.|−1|＝1，错误；

B.(-2)3＝−8，正确；

C.（−1）×（−2）＝2，错误；

D.(-3)2＝9，错误；

故选：B．

2．（2018·四川成都外国语学校中考模拟）下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【详解】

解：|﹣2|＝2，

﹣（﹣2）2＝﹣4，

﹣（﹣2）＝2，

（﹣2）3＝﹣8，

﹣4，﹣8是负数，

∴负数有2个．

故选：B．

3.（2018·河南中考模拟）若a=﹣4×4，b=﹣|﹣32×1|，c=﹣5+2（﹣22），则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b

【详解】

因为a=﹣4×4=-16，b=﹣|﹣32×1|=-15，c=﹣5+2（﹣22）=-13.

-13>-15>-16.

所以c＞b＞a

故选：B

考查题型五 有理数混合运算

1．（2018·湖北中考模拟）计算：

（1）5-（-2）+（-3）-（+4）；

（2）（-）×（-24）；

（3）（-3）÷××（-15）；

（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2017．

【详解】

解：（1）原式=5+2﹣3﹣4

=5﹣3+2﹣4

=2﹣2

=0；

（2）原式=×24+×24﹣×24

=18+15﹣18

=15；

（3）原式=（﹣3）×××（﹣15）

=4×4×5

=80；

（4）原式=﹣1+|﹣8﹣10|﹣（﹣3）÷（﹣1）

=﹣1+18﹣3

=14．

2．（2018·湖北中考模拟）计算：

（1）﹣15+（﹣8）﹣（﹣11）﹣12

（2）

（3）

（4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]

【详解】

原式

.

（2）原式

（3）原式

，

，

（4）原式

=32．

3．（2018·海南琼山中学中考模拟）

【详解】

原式

考查题型六 用科学记数法表示绝对值较大的数

1．（2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为　　

A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010

【详解】

解：4 400 000 000=4.4×109，

故选C．

2．（2018·河南中考真题）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（　　）

A．2.147×102    B．0.2147×103    C．2.147×1010    D．0.2147×1011

【解析】

214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，

故选：C．

3.（2019·安徽中考模拟）据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米(      )

A． B． C． D．

【解析】

详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×108．

故选：B．

4．（2018·广东中考真题）260000000用科学计数法表示为(    )

A． B． C． D．

【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6，

所以260000000用科学记数法表示为，

故选B.

5．（2019·山东中考模拟）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　）

A．4 B．6 C．7 D．10

【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，

∴原数中“0”的个数为6，

故选B．

考查题型七 根据精确度求近似值

1．（2018·山东中考模拟）近似数3.02×106精确到（　　）

A．百分位    B．百位    C．千位    D．万位

【解析】

近似数3.02×106精确到万位．

故选D．

2．（2017·安徽中考模拟）用四舍五入法得到近似数4.005万，关于这个数有下列说法，其中正确的是（　　）

A．它精确到万位 B．它精确到0.001

C．它精确到万分位 D．它精确到十位

【解析】

近似数4.005万精确到十位．

故选D．

3．（2019·山东中考模拟）近似数1.23×103精确到（　　）

A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位

【详解】

∵1.23×103=1 230，

∴这个近似数精确到十位．

故选D．

4．（2019·福建中考模拟）30269精确到百位的近似数是(    )

A．303 B．30300 C． D．

【详解】

本题考查近似数的概念，按要求对30269取近似值，30269精确到百位的近似数应是303百，选项A明显错误，B选项精确到个位，C选项不是科学记数法的模型，D选项精确到百位，而且是规范的科学记数法.

故选:D.

5．（2019·四川中考真题）用四舍五入法将精确到千位，正确的是（   ）

A． B． C． D．

【详解】

解：130542精确到千位是1.31×105．

故选：C．

6．（2019·河北中考模拟）近似数5.10精确到（    ）

A．个位 B．十分位 C．百分位 D．十位

【详解】

解：5.10精确到百分位．
故选：C．

7．（2018·江苏中考模拟）今年无锡马拉松参赛选手91879人，这个数据精确到千位并用科学记数法表示为（　　）

A．91×103    B．92×103    C．9.1×104    D．9.2×104

【详解】

91879≈9.2×104，
故选：D．

8．（2018·广西中考模拟）近似数精确到（ ）

A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位

【解析】

根据近似数的精确度：近似数5.0×102精确到十位．

故选：C．