2020年中考数学一轮复习基础考点专题04实数含解析
展开专题04 实数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作
平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
1．（2017·甘肃中考模拟）正数9的平方根是( )
A．3 B．±3 C． D．
【答案】B
【详解】因为 3的平方都等于9，所以答案为B
2．（2016·山东中考模拟）81的算术平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【答案】A
【解析】
试题解析：∵92=81，
∴81的算术平方根是9．
故选A．
3．（2018·江苏中考模拟）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：9的算术平方根是3．故选C．
4．（2019·宁波市慈湖中学中考模拟）的平方根是( )
A．﹣4 B．±2 C．±4 D．4
【答案】B
【详解】∵42＝16，
∴＝4，
∴的平方根是±2,
故选B．
5．（2018·河南中考模拟）的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
6．（2019·浙江中考模拟）的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】C
【详解】＝4，
4的算术平方根是2，
所以的算术平方根是2，
故选C．
7．（2019·四川中考模拟）的算术平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
【答案】D
【详解】∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故选:D．
8．（2019·黑龙江中考模拟）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
详解：＝，
故选：A.
9．（2017·江苏中考真题）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）
A．是19的算术平方根 B．是19的平方根
C．是19的算术平方根 D．是19的平方根
【答案】C
【解析】
试题分析：根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.
故选：C
考查题型一 利用算术平方根的非负性解题
1．（2015·内蒙古中考真题）若则的值是（ ）
A．2 B 、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
2．（2016·山西中考模拟）若(m1)2＝0，则m＋n的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】∵(m1)2＝0，
∴m−1=0，n+2=0；
∴m=1，n=−2，
∴m+n=1+(−2)=−1
故选：A.
3．（2018·山东中考模拟）已知，，且，则的值为（ ）
A．2或12 B．2或 C．或12 D．或
【答案】A
【解析】
根据=5，=7，得，因为，则，则=5+7=12或-5+7=2.
故选A.
考查题型二 利用平方根的性质解题
1．（2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解析】
∵a2=4,b2=9，
∴a=±2，b=±3，
∵ab<0，
∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5，
a=−2时，b=3，a−b=−2−3=−5，
所以，a−b的值为5或−5.
故选：B.
2．（2019·黑龙江中考模拟）对于实数a，b下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：A也可能是a=-b，故A错误；B，只能说明|a|＞b，故B错误；
C，a，b也可能互为相反数；D，都表示算术平方根，故D正确；
3．（2018·江苏中考模拟）如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab=___．
【答案】2016
【详解】∵a，b分别是2016的两个平方根，
∴
∵a，b分别是2016的两个平方根，
∴a+b=0，
∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣2016，
∴a+b﹣ab=0﹣（﹣2016）=2016，
故答案为：2016．
知识点二 立方根和开立方
立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示： （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
次方根(扩展)
概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
1．（2019·江苏中考模拟）﹣8的立方根是( )
A．±2 B．2 C．﹣2 D．24
【答案】C
【详解】∵23=8，
∴8的立方根是2，
故选B．
2．（2018·湖南中考真题）下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=2-=，符合题意，
故选D．
3．（2011·山东中考模拟） 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【详解】的相反数是-=2
故选B.
4．（2019·山东中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，正确．
故选：D．
5．（2019·湖南中考模拟）下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．无理数都是开不尽的方根数 D．无理数都是无限小数
【答案】D
【详解】（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0的平方根是0，∴A错误．
（2）∵任何实数都有立方根，∴B答案错误．
（3）∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，∴C答案错误． ∴D答案正确．
故选D．
6．（2019·浙江中考模拟）下列计算正确的是（ ）
A．=﹣4 B．=±4 C．=﹣4 D．=﹣4
【答案】D
【解析】
根据二次根式的意义，可知被开方数为非负数，因此A不正确；根据算术平方根是平方根中带正号的，故B不正确；根据二次根式的性质 可知=4，故C不正确；根据立方根的意义可知=-4，故D正确.
故选D
7．（2013·广东中考模拟）一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【答案】D
【解析】
∵立方体的体积为64，
∴它的棱长=，
∴它的棱长的平方根为：.
故选D.
8．（2019·来宾市第四中学中考模拟）下列说法①﹣5的绝对值是5；②﹣1的相反数是1；③0的倒数是0；④64的立方根是±4，⑤是无理数，⑥4的算术平方根是2，其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】①﹣5的绝对值是5，正确；②﹣1的相反数是1，正确；③0没有倒数，错误；④64的立方根是4，错误，⑤不是无理数，是有理数，错误，⑥4的算术平方根是2，正确，
故选B．
考查提醒三 利用立方根的性质解题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．－2与 B．－2与 C．2与（-）2 D．|-|与
【答案】A
【解析】
选项A. －2与 =2，
选项B. －2与 =-2，
选项 C. 2与（-）2=2,
选项D. |-|=与,
故选A.
2.（2018·福建中考模拟）若实数满足，则的立方根为__________．
【答案】
【详解】由题意得：2x-3=0，9+4y=0，
解得：x=，y=，
∴xy=，
∴xy的立方根是，
故答案为：.
考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合
1．（2018·合肥市第四十五中学初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．
【答案】当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝0；当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝﹣3．
【详解】∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算术平方根是其本身
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，
解得a＝4．
当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；
当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．
2．已知的算术平方根是4，的立方根是，求的平方根．
【答案】
【详解】根据题意得：，，
解得：，，
则，9的平方根为．
所以的平方根为．
3.已知的算术平方根足，的立方根是，求的平方根．
【答案】±
【详解】解：由题意得：2a-1=9，3a+b-1=8，
解得：a=5，b=-6，
则a-2b=5-2×(-6)=17，17的平方根是±
4.已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根．
【答案】±4．
【详解】解：∵a+1的算术平方根是1，
∴a+1=1，即a=0；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12=﹣3，即b=9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3=4，即c=7；
∴a+b+c=0+9+7=16，
则a+b+c的平方根是±4．
5．（2019·贵州省毕节梁才学校初二期中）已知是49的算术平方根，的立方根是2，求的平方根．
【答案】±13．
【详解】解：∵x+2是49的算术平方根，
∴x+2=7，
解得x=5，
∵的立方根是2，
∴=8，
解得y=12，
∴==169，
∵（±13）2=169，
∴的平方根是±13．
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类：2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
1．（2019·四川中考模拟）下列实数0，，，π，其中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：无理数有：，.
故选B.
2．（2013·贵州中考真题）下列各数中，，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。故选B。
3．（2018·山东中考真题）下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，所以无理数有2个，故选C.
4．（2019·山东中考模拟）在实数，，π﹣2，，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】，=-3是有理数；
，π﹣2，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）是无理数.
故选B.
5．（2018·贵州中考模拟）下列说法：
①；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2是的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】①∵，∴是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵＝4，故-2是 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确；
故正确的是②③④⑥共4个；
故选C.
6．（2018·四川中考模拟）的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣
【答案】A
【解析】
的相反数是，即2.
故选A.
7．（2018·山东中考模拟）1﹣的相反数是（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C． D．﹣1
【答案】B
【详解】根据a的相反数为-a即可得，1﹣的相反数是﹣1.
故选B.
8．（2018·黑龙江中考模拟）实数的绝对值是
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：=
故选B.
9．（2018·四川中考模拟）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵，
∴ .
故选C.
考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法
1．（2013·湖北中考模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
2．（2013·广西中考模拟）如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图象可知，2＜p＜3．
∵2.236，∴数轴上点P表示的数可能是．
故选B．
3．（2018·天津中考模拟）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1
【答案】D
【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得.
故选D.
考查题型六 实数大小比较
1．（2018·湖南中考模拟）、、5三个数的大小关系是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】这一组数据可化为、、．
∵27＞25＞24，∴＞＞，即2＜5＜．
故选A．
2.（2018·天津中考模拟）比较的大小，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵2，∴2；
∵，∴，∴．
故选A．
3．（2019·天津中考模拟）若，，则下列关系正确的为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵25<30<36，
∴5<<6，即5<a<6，
∵b=，
∴b=6，
∵64<65<125，
∴4<<5，即4<c<5，
∴b>a>c，
故选C.
考查题型七 无理数估算方法
1.（2019·辽宁中考模拟）估计5﹣的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】C
【详解】5﹣=，
∵49<54<64，
∴7<<8，
∴5﹣的值应在7和8之间，
故选C．
2.（2019·天津中考模拟）3+ 的结果在下列哪两个整数之间（ ）
A．6和7 B．5和6 C．4和5 D．3和4
【答案】A
【详解】解：∵3＜＜4，
∴6＜3+ ＜7，
故选：A．
3．（2018·海南中考模拟）若，则估计m的值所在范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，,
所以，,
即
故选C
