广西桂林崇左防城港市2020届高三联合模拟考试数学（理）试题

绝密*启用前

2020年高考第二次模拟考试

理科数学

注意事项:

    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

    3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A.    B.    C.    D.

2.已知（其中为虚数单位），则z的虚部为

A.  B. 1 C. 2 D. 4

3.已知，，，则

A.     B.     C.     D.

4.若x,y满足约束条件的最小值是

A. 0 B. 3 C. 4 D. 6

5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为

A. 9 B. 7 C. 8 D. 6

6. 函数的图象大致为

7.已知函数（），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数的图象

A. 关于点对称 B. 关于点对称

C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是

A.  B.  C.  D.

9.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为

A．               B．              C．             D．

10. 在中，若，则的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

11.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为

A. 2 B.  C.  D.

12.若对于任意的，都有，则的最大值为

A.  B.  C.  D. 1

第Ⅱ卷

    本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.的展开式中常数项是       .

14. 已知，分别是的两个实数根，则        .

15. 已知向量,,若存在向量,使得，,则=_______．

16. 在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为_______．

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.

18.(本小题满分12分) 已知正项等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的前项和

 19.(本小题满分12分) 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的值.

20.(本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

21 .(本小题满分12分) 已知.

（1）当时，求证：；

（2）当有三个零点时，求实数的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）设是圆上的两个动点，且，求的最大值

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）当时，函数的最小值为，求实数的值.

2020年高考桂林市第二次模拟考试

理科数学参考答案及评分标准

一．选择题（每题5分，共60分）

二．填空题（每题5分，共20分）

13. 60    14. 1    15. （2,2）     16.

三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

解：（1）记事件Ai第i天到达(i=1,2,3，…,13),设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，

则B=A5∪A8，                           ……………………2分

所以.……………………3分

（2）由题意知，的所有可能取的值为0,1,2，且

;……………………5分

;…………7分

,…………9分

所以的分布列为

…………10分

的期望为.…………12分

18. （本小题满分12分）

解：（1）设正项等差数列的首项为，公差为d，，

则，  ……………………2分

得       ……………………4分

   ……………………5分

（2），且，. ……………………6分

当时，

，     ……………………8分

当时，满足上式，.       ……………………9分

.        ……………………10分

………………………………12分

19.（本小题满分12分）

由题知四边形ABCD为正方形  ∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD            …………1分 

又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF  

∴EF // AB，又AB//CD ∴EF //CD，       …………3分

由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点

连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB    ∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE                           

∴PB//平面ACE.           …………6分

（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，

∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，…………7分

设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）

G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），         

∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA，

∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A

∴DG⊥平面CAF，

∴平面CAF的一个法向量为     …………9分

 设平面AFD的一个法向量为而

由得  取可得

为平面AED的一个法向量，     

设二面角C—AF—D的大小为

则得

又 ∴             

∴当二面角C—AF—D的余弦值为时，.  ………………………………12分

20（本小题满分12分）

设椭圆方程为＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.

又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1. …………4分

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，

设△F1MN内切圆的半径为R，

则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，

因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．

S△F1MN＝|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，…………6分

由题知，直线l斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，

由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，

得y1＝，y2＝，…………8分

则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，

则S△F1MN＝＝＝.…………10分

令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，

当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，

当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝

这时所求内切圆面积的最大值为π，此时直线的方程为x=1。…………………………………12分

21（本小题满分12分）

证明：，

令，，，

，

在上单调递减，，

所以原命题成立. …………4分

（2）由 有三个零点可得

有三个零点，

，…………6分

①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；

②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；…………8分

③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，

时，；时，；时，

观察可得，且，

当时，；单调递增，

所以有，即，

时，，单调递减，

时，单调递减，…………10分

由（1）知，，且，所以在上有一个零点，

由，且，所以在上有一个零点，

综上可知有三个零点，

即有三个零点，

所求的范围是.

22（本小题满分10分）

解：（1）圆的直角坐标方程为，即，

所以圆的极坐标方程为，即. …………4分

(2)设的极坐标为，，则

，…………6分

则,…………8分

又，所以，

所以当时，取最大值.……………………………10分

（23）（本小题满分10分）

解：（1）时，不等式为

②_x0001_           当 时，不等式化为，，此时

②当 时，不等式化为，，此时

③当 时，不等式化为，，此时

综上所述，不等式的解集为…………5分

（2）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，

所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4. …………10分

法二：

所以，又，所以.

……………………………………………………………………10分