广西桂林崇左防城港市2020届高三联合模拟考试数学（文）试题
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2020年高考第二次模拟考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知（其中为虚数单位），则的虚部为
A. B. C. D.
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.若x,y满足约束条件的取值范围是
A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4,
5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为
A. 9 B. 7 C. 8 D. 6
6.函数的大致图象为
A. B. C. D.
7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C. D.
8. 在中，若，则的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10. 如图所示，正方体的棱长为2，为，AB的中点，
点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为
A. B.1 C. D.
11. 已知函数在区间上有最大值，
则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12. 已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为
A. 2 B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，
第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知，则______.
14.已知向量，，则在方向上的投影为__________．
15.设函数，则使成立的的取值范围是_________．
16.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17（本小题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
18 (本小题满分12分)已知数列的前项和为，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，设数列前项和为，求.
19 (本小题满分12分) 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足
（1）证明：平面；
（2）当时，求点到平面的距离.
20(本小题满分12分) 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
21 (本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为，，
过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的
内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直
线方程；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设是圆上的两个动点，且，求的最大值
23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，函数的最小值为，求实数的值.
2020年高考桂林市第二次模拟考试
文科数学参考答案及评分标准
一．选择题（每题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | A | D | C | A | C | D | B | C | B | D |
二．填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，………2分
所以此人到达当日空气重度污染的概率为．…………4分
（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．…8分
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．……………………12分
18. （本小题满分12分）
证明：因为，，所以，所以，
所以． …………3分
所以是以为首项，以1为公差的等差数列． …………5分
（2）由（1）可得，所以.
∴ …………7分
∴…………9分
………………………………12分
19（本小题满分12分）
证明：由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD
∴AB//平面PCD …………1分
又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB，又AB//CD
∴EF //CD， …………3分
由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G，则G为BD中点，
在△PBD中FG为中位线，∴EG//PB
∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE
∴PB//平面ACE. …………6分
（2）∵PA=2，AD=AB=1， ∴,
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD…………8分
在Rt△CDE中，
在△ACE中由余弦定理知
∴，∴S△ACE=
设点F到平面ACE的距离为，则 …………10分
由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且
∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为
又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴
由知∴点F到平面ACE的距离为.…………………………12分
20（本小题满分12分）
∵………………………………1分
①若时，，此时函数在上单调递增；……………………2分
②若时，又得：
时，此时函数在上单调递减；
当时，此时函数在上单调递增；…………4分
综上：当时，函数在上单调递增
当时，函数在在上单调递减，在上单调递增…………5分
（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，…………6分
即函数图像与函数图像有两个不同的交点，…………7分
因为，令得：
所以当时，，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增；…………10分
则，而，且，
要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，
所以的取值范围为.…………12分
21（本小题满分12分）
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.
又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1. …………4分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，
设△F1MN内切圆的半径R，
则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，
因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．
S△F1MN＝F1F2||y1－y2|＝y1－y2，…………6分
由题知，直线l斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，
由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
得y1＝，y2＝，…………8分
则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，
则S△F1MN＝＝＝.…………10分
令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，
当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，
有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，
当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝
这时所求内切圆面积的最大值为π，此时直线的方程为x=1。………………………12分
22（本小题满分10分）
解：（1）圆的直角坐标方程为，即，
所以圆的极坐标方程为，即. …………4分
(2)设的极坐标为，，则
，…………6分
则,…………8分
又，所以，
所以当时，取最大值.……………………………10分
（23）（本小题满分10分）
解：（1）时，不等式为
①当 时，不等式化为，，此时
②当 时，不等式化为，
③当时，不等式化为，，此时
综上所述，不等式的解集为…………5分
（2）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，
所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4. …………10分
法二：
所以，又，所以.……………………………………10分
