北京市人民大学附属中学2020届高三高考模拟（4月份）数学试题
展开2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】，，故.
故选：.
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
2.已知复数是正实数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】因为为正实数，
所以且，解得.
故选：C
【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.
3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4.设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】，解得，，故.
故选：.
【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
5.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
【点睛】本题考查三角函数定义及诱导公式，属于基础题.
6.设为非零实数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选：.
【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7.某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
，.
故选：D.
.
【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
8.已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.
【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，
设，，则，
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像综合应用.
10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：
【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
11.在二项式的展开式中，的系数为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意计算，解得答案.
【详解】，故，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.
①_________________________________________________.
②_________________________________________________.
【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大
【解析】
【分析】
直接根据折线图得到答案.
【详解】根据折线图知：
①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.
故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.
【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.
14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】，故，当时，，
故，解得.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15.集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.
三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16.已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
【答案】（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
17.在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明.
（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.
（Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案.
【详解】（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.
平面.
（Ⅱ）平面，四边形为正方形.
所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，
则，，，，
设平面法向量为，则，
连结，可得，又所以，平面，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，则.
（Ⅲ）线段上存在点使得，设，
，，，
所以点为线段的中点.
【点睛】本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导得到，，解得答案.
(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.
【详解】(Ⅰ)，故，
，故.
(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
，故当时，.
【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.
【详解】(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
