2020届北京市中央民族大学附属中学高三9月月考数学试题

中央民大附中2019—2020学年第一学期

9月考试试题卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．函数的定义域为（　　）

A．[0，+∞） B．（1，+∞） 

C．[0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）

2．已知角α的终边过点P（﹣3，4），则cosα＝（　　）

A． B． C． D．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝x2+2x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝x2

4．已知函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象是（　　）

A． B． 

C． D．

5．“α“是“cosα“成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数f（x）＝ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）

7．已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（），b＝f（2），c＝f（3），则a、b、c的大小关系为（　　）

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

8．一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　）

A．至多能剪成19块“L”形骨牌 

B．至多能剪成20块“L”形骨牌 

C．一定能剪成21块“L”形骨牌 

D．前三个答案都不对

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9．已知向量（1，﹣2），（2，m），若⊥，则m＝　   　．

10．已知函数f（x）＝log3（x+a）的图象过点（2，1），那么a＝　   　．

11．sin225°＝　   　．

12．能够说明“设a，b是任意非零实数．若，则b＞a”是假命题的一组整数a，b的值依次为　   　．

13．函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A，φ∈R）的部分图象如图所示，那么f（0）＝　   　．

14．已知函数f（x）为定义域为R，设Ff（x）．

①若f（x），则Ff（1）＝　   　；

②若f（x）＝ea﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，Ff（x）＝f（x），则实数a的取值范围为　   　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）设函数

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．

16．（13分）若集合A＝{x|x2+ax+1＝0，x∈R}，集合B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．

17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，，．

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．（13分）已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣cos2x．

（Ⅰ）求f （）的值；

（Ⅱ）求证：当x∈[0，]时，f（x）≥﹣1．

19．已知函数．

（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；

（Ⅲ）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

20．若A1，A2，…，Am为集合A＝{1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且满足两个条件：

①A1∪A2∪…∪Am＝A；

②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}．则称集合组A1，A2，…，Am具有性质P．

如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为akl．

（Ⅰ）当n＝4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；

集合组1：A1＝{1，3}，A2＝{2，3}，A3＝{4}；

集合组2：A1＝{2，3，4}，A2＝{2，3}，A3＝{1，4}．

（Ⅱ）当n＝7时，若集合组A1，A2，A3具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A1，A2，A3；

（Ⅲ）当n＝100时，集合组A1，A2，…，At是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的个数）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．C

2．A

3．D

4．D网]

5．A

6．C

7．D

8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9． 1．

10． 1．

11． ．

12．﹣1，﹣2．

13．﹣1．

14．，（﹣∞，ln2]．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（Ⅰ）f′（x）＝x2+3x+2＝（x+1）（x+2），

令f′（x）＞0解得x＜﹣2或x＞﹣1；令f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣1，

故函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x，f′（x），f（x）的变化情况，

故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．

16．根据题意，A⊆B，分4种情况讨论：

（1）若A＝ϕ，则△＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；

（2）若A＝{1}，则12+a+1＝0，解得a＝﹣2，此时A＝{1}，适合题意；

（3）若A＝{2}，则22+2a+1＝0，解得此时，不合题意；

（4）若A＝{1，2}，即x2+ax+1＝0的两根为1和2，不符合题意，

综上所述，实数a的取值范围为[﹣2，2）．

17．（本题满分为13分）

解：（Ⅰ）在△ABCD中，因为a＝3，，，

由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，………．（2分）

可得c2﹣2c﹣3＝0，………．

所以c＝3，或c＝﹣1（舍）．                             …………．（6分）

（Ⅱ）因为，

所以．

所以△ABC的面积．…………．（13分）

18．（Ⅰ）∵f（x），

∴f（）＝2sin1．

证明：（Ⅱ）∵0≤x，

∴，

当2x时，

即x＝0时，f（x）取得最小值﹣1，

∴当x∈[0，]时，f（x）≥﹣1．

19．（Ⅰ）直线y＝x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

因为，所以，，所以，a＝1．

所以，，． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．

所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．

（Ⅱ）  ，由f'（x）＞0解得 ； 由f'（x）＜0解得 ．

所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，

所以，即可． 则． 由解得 ．

所以，a的取值范围是  ．

（Ⅲ） 依题得 ，则 ．

由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．

所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．

又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，

解得 ．   所以，b的取值范围是．

20．（Ⅰ）解：集合组1具有性质P．…（1分）

所对应的数表为：

集合组2不具有性质P．…

因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，

有{2，3}∩A1＝{2，3}，{2，3}∩A2＝{2，3}，{2，3}∩A3＝∅，

与对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3}，有Ai∩{x，y}＝{x}或{y}矛盾，所以集合组A1＝{2，3，4}，A2＝{2，3}，A3＝{1，4}不具有性质P．…

（Ⅱ）

A1＝{3，4，5，7}，A2＝{2，4，6，7}，A3＝{1，5，6，7}．…（8分）

（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）

（Ⅲ）设A1，A2，…，At所对应的数表为数表M，

因为集合组A1，A2，…，At为具有性质P的集合组，

所以集合组A1，A2，…，At满足条件①和②，

由条件①：A1∪A2∪…∪At＝A，

可得对任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈Ai，

所以axi＝1，即第x行不全为0，

所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0．…（9分）

由条件②知，对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3，…，t}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}，所以axi，ayi一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同．

所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同．…

因为由0，1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组，共有2t﹣1个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以100≤2t﹣1，

所以t≥7．

又t＝7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P．

所以t＝7．…（ 12分）

因为|A1|+|A2|+…+|At|等于表格中数字1的个数，

所以，要使|A1|+|A2|+…+|At|取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，

而t＝7时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C72＝21行；1的个数为3的行最多C73＝35行；1的个数为4的行最多C74＝35行；

因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，

所以此时表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2＝304个1．

所以|A1|+|A2|+…+|At|的最小值为304．…