安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟数学（文）试题

2020届高三下学期5月模拟考试

文科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.集合，,若 ，则的取值范围是

A.                                B.                         C.                        D.

2.已知命题直线与相交但不垂直；命题 ， ，则下列命题是真命题的为

A.                           B.                 C.                  D.

4.某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为

A.  B.  C.  D.

5.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则

A.        B.            C.           D.

A. 0                      B. 4                       C.                                D.

7.为比较甲，乙两地某月时的气温，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数；④甲地该月时的气温的中位数大于乙地该月时的气温的中位数．其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为

A. ①③                       B. ①④                           C. ②③                           D. ②④

8.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为

A. 2.2升             B. 2.3升                       C. 2.4升                       D. 2.5升

9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则

A. 1 B. 2 C. 2 D. 2

10.函数的图象可能是

11.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为

A.                                B.                       C. 1                                 D.

12.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．

14.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．

15.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．

16.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为__                                               ．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分12分）

已知等差数列是递增数列，且，．

求数列的通项公式；

若，求数列的前项和．

18. （本小题满分12分）

今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．

（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；

（2）在年平均销售量为，，，的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取多少家？

（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在组的概率．

19. （本小题满分12分）

如图所示，四棱锥中，菱形ABCD所在的平面，，E是BC中点，M是PD的中点．

求证：平面平面PAD；

若F是PC上的中点，且，求三棱锥的体积．

20. （本小题满分12分）

已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知.

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l： （m为常数）．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|=4时，求实数m的值．

23. （本小题满分10分）选修4-5  不等式选讲

 已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

 （2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.

参考答案

1.B

【解析】由题意求出，，要使 ，则.

根据题意，可得，，要使 ，则，故选B.

2.A

【解析】命题 ,即直线和直线互相垂直,故命题错误; 命题当时不等式成立,故命题正确;综上可知, 正确,故选A.

3.C

【解析】

∴

即。故选：C．

4.B

【解析】该几何体如下图所示，因为，

所以，三角形APD的面积最小，即，

所以，，解得：

故选：B

5.D

【解析】如图，

关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线与圆相切即可，而直线的方程为：，直线为：.

由，得，结合图象可知：    .故选D．

6.D

【解析】因为与向量共线，所以，解得， ，故选D.

7.A

【解析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、中位数可得答案.

由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：

甲：26，28，29，31，31，

乙：28，29，30，31，32，

可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）＝29，

乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）＝30，

故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

甲地该月时的气温的中位数29，

乙地该月14时的气温的中位数30，

所以甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数．故选：A．

8.D

【解析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．

设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，

则{an}是等差数列，设公差为d，

由题意得，

解得a1＝1.6，d＝﹣0.1，

∴中间两节的容积为：a4+a5＝（1.6﹣0.1×3）+（1.6﹣0.1×4）＝2.5（升）．故选：D．

9.B

【解析】抛物线的焦点坐标，

由抛物线的定义可得等于到准线的距离，

因为在准线上，所以与准线垂直与轴平行，

因为三角形为正三角形，

所以

可得直线，

可得，

可得，则，，

等于到准线的距离，故选B.

10.A

【解析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案.

解：由题意得：，

故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又，＞0，

故D项不符合题意，故选A.

11.A

【解析】函数的图象向左平移个单位长度后，

图象所对应解析式为：，

由关于轴对称，则，

可得，，又，所以，

即，

当时，所以，，故选A．

12.C

【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，

即方程恰有三个不相等的实数解，

即与有三个不同的交点.

令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

且当时，，

当时，，，

当时，，

据此绘制函数的图像如图所示，

结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .本题选择C选项.

13.6

【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.

故答案为：6．

14.

【解析】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．

∴S△ABC，解得a．

∴b＝4．

∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=。故答案为

15.18

【解析】由约束条件作出可行域如图，

，

化目标函数为，

由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．

故答案为：18．

16.

【解析】对分类，找到的解集，再求的解集

时，，

①当时，，

解，即得或，

或

②当时，

解即得

当时，解集为或

是上的偶函数，

由对称性可知当时，解集为或

解集为或或

时，或或

解得或或

17.（1）；（2）

【解析】设首项为，公差为d的等差数列是递增数列，且，．

则：，解得：或9，或1，由于数列为递增数列，

则：，．故：，则：．

由于，则：．

所以：．

18.（1）0.0075，230，224；（2）3家，2家，1家；（3）

【解析】由直方图的性质得：，

解方程得，直方图中．年平均销售量的众数是，

，年平均销售量的中位数在内，

设中位数为a，则：，

解得，年平均销售量的中位数为224．

年平均销售量为的农贸市场有：，

年平均销售量为的农贸市场有：，

年平均销售量为的农贸市场有：，

抽取比例为：，

年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，

年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，

年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，

故年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．

由知年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．

设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，

基本事件总数，

恰有1家在组包含的基本事件的个数，

恰有1家在组的概率．

19.（1）证明：连接，

因为底面为菱形，，所以是正三角形，

因为是中点，所以，又，所以，

因为平面，平面，所以，

又，所以平面

又平面，所以平面平面.

（2）因为，则，

所以

.

20.（1）；（2）

【解析】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，

所以，所以抛物线的方程为；

（2）【解法一】因为点与点关于轴对称

所以设，，，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

因为，，所以，即，

所以直线的方程为，必过定点.

【解法二】

设，，，

因为点与点关于轴对称，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

因为，所以，即，

所以直线的方程为，必过定点.

21.（1）的定义域为

∵，，

∴当时，；时，

∴函数在上单调递减；在上单调递增.

（2）当时，

由题意，在上恒成立

①若，当时，显然有恒成立；不符题意.

②若，记，则,

显然在单调递增，

（i）当时，当时，

∴时，

（ii）当，，

∴存在，使.

当时，，时，

∴在上单调递减；在上单调递增

∴当时，，不符合题意

综上所述，所求的取值范围是

22.（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y+1）2=16，

直线l： ，即ρsinθ+ρcosθ=4m，直角坐标方程为x+y﹣4m=0

（2）解：由题意，圆心到直线的距离d= =2 ，

∴ =2 ，∴m=±

23.（1）3（2）

【解析】（1）不等式f（x）≤4，即|x﹣a|≤4，即﹣4≤x﹣a≤4，求得 a﹣4≤x≤a+4．

再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7}，可得a﹣4=﹣1，且a+4=7，求得 a=3．

（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）＜4m成立，即|x﹣3|+|x+2|＜4m成立，

故（|x﹣3|+|x+2|）min＜4m，

而|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣3）+（﹣x﹣2）|=5，

∴4m＞5，解得：m＞，

即m的范围为（，+∞）．