安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟数学（理）试题

2020届高三下学期5月模拟考试

理科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.集合，,则

A.                     B.                 C.                D.

2.若复数满足，其中为虚数单位，则

A.                               B.                         C. 1                  D. 2

3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是

A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班

C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小

4.已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于

A.                             B.                              C. 3                     D. 1

5.执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a的取值范围是

A.                                 B.

C.                              D.

6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是

A.                          B.                     C.                         D.

7.设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足， ， ，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是

A.                              B. 2                              C. 4                            D. 8

8.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为

A.                     B.                 C.                  D.

9.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是

A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位

B. 函数的图象关于直线对称

C. 当时，函数的最小值为

D. 函数在上单调递增

10.已知函数，则的大致图象为

A.                              B.

C.                              D.

11.已知定义在R上的偶函数（函数f(x)的导函数为）满足，e3f(2018)＝1，若，则关于x的不等式的解集为

A.                      B.                  C.                D.

12.已知函数，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围

A.              B.                C.                  D.

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）

14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)

15.已知点分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足， ，则双曲线的离心率的取值范围为__________．

16.若变量满足约束条件，且的最小值为，则__________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分12分）

已知函数．

(I)求函数的最小正周期和最小值；

(II)在中，A，B，C的对边分别为，已知，求a，b的值．

18. （本小题满分12分）

我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；

（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望．

19. （本小题满分12分）

如图，四边形为等腰梯形沿折起，使得平面平面为的中点，连接（如图2）.

图1                       图2

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．

（1）求的值；

（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

21. （本小题满分12分）

已知，函数，．

求证：；

讨论函数零点的个数．

22.选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.

（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若，且，求证： ．

参考答案

1.B

【解析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到 ，最后由交集的概念得到结果.

，=，

，则.故答案为：B.

2.C

【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

则.本题选择C选项.

3.D

【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.

由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确，

甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项正确，

两班地理平均分分差最小，即选项错误，故选D.

4.A

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．

设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，

∴2×2a3=3a2+a4，

∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，

解得q=1或3．

q=1时， ,

q=2时， .故选：A．

5.D

【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数.

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，无解.

综上，，则实数a的取值范围是.故选D.

6.C

【解析】详解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ，
且侧面底面

∴ ，的外接圆的圆心为斜边的中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面，
设外接球的半径为
则

解得

，∴外接球的表面积．故选C．

7.B

【解析】设， ，

∵， ，
∴， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即

∵、、分别表示、、的面积

∴，当且仅当时取等号

∴的最大值是。故选B

8.D

【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为．

由，解得，故点P的坐标为；

由，解得，故点Q的坐标为． 

∵，

∴，

∴，整理得，

∴，故得，解得．选D．

9.A

【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.

因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故即，所以，

令，则即，

因，故，.

，故向右平移个单位后可以得到，故A正确；

，故函数图像的对称中心为，故B错；

当时，，故，故C错；

当时，，在为减函数，故D错.综上，选A.

10.A

【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.

因为，

所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；

又因为，可排除选项.故选A.

11.B

【解析】是偶函数， ， ， ， ，即，设，则， 在上递增，由，得，相减可得， 的周期为， ， ， ，结合的周期为可化为， ， 不等式解集为，故选B.

12.C

【解析】设，则，即，则，所以问题转化为在区间上恰有两个不同的零点，即在区间上恰有两个不同的零点，设，则，则问题转化为在区间上有两个不同的零点，结合二次函数图像可知，应满足，解得，故选择C.

13.3

【解析】的通项公式为.

令，得；令，得.

∴常数项为。故答案为.

14.

【解析】详解：由“斐波那契”数列可知

               。

         所以 ，

         所以

15.

【解析】由，可得，

故为直角三角形，且，

∴．

由双曲线定义可得．

∵，

∴，可得．

又，

整理得．

∴．

∴，

又，

∴，即双曲线的离心率的取值范围为．答案：

16.

【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，

∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，

则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，

作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，

则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，

代入得到 故答案为：-2.

17.(Ⅰ) 的最小正周期,最小值为-4; (Ⅱ) .

【解析】(Ⅰ)

   ，

所以的最小正周期,最小值为.

(Ⅱ)因为所以.

又所以，得.因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，

又c=a，所以.

18.（Ⅰ）30万；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为

所以假设全市的人数为（万人），则有，解得

所以估计全市人数为30万.

（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 ，

所以，得，

用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户．

据题意可知随机变量的取值为0,2,4．

，

，

，

其分布列为：

期望为：．

19. （Ⅰ）,则,，又因为平面 平面且平面 平面 ，所以平面，从而．

（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC.，设E点到平面BCD的距离为，，,

DE与平面BCD所成角为，则.

20. 解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．

（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,

则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,

则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得, ,

所以,故,

综上, 直线与直线的斜率之积为．

21.

证明：设，则，

，且，

当时，，递增，

当时，，递减，

，，

，

．

解：，，

，，

，方程有两个不相等的实根，分别为，

，且，

，

当时，，递减，当时，，递增，

，，

，即，

．

设，则，是减函数，

当，即时，，

函数只有一个零点，

当，即时，，

函数没有零点，

当，即时，，且，

由知，，

若，则有，

，

函数有且只有一个大于的零点，

又，即函数在区间有且只有一个零点，

综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，

当时，函数没有零点．

22.（1）， （2）16

解析：（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.

曲线的极坐标方程为，展开为，化为..

（2）设，且中点为，

联立，

解得，

∴.

∴.

线段的中垂线的参数方程为

（为参数），

代入，可得，

∴，

∴.

23.解析：（1）

当时，则，解得；

当时，则不成立；

当时，由，解得.

所以原不等式的解集为.

（2）即.

因为,,

所以,

所以.故所证不等式成立.