湖北省黄冈市实验中学2020届高三模拟（五）考试数学（文）试卷
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文 科 数 学
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
3.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 （ ）
A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于
D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
4.将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，则恰好没有被涂色的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知,则的值域是（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是 （ ）
A.函数关于对称 B.函数关于对称
C.函数在单调递增 D.函数值域为
7.若正整数除以正整数后的余数为，则记例如，下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行右下程序框图，则输出的等于( )
A. B. C. D.
8.已知，，，，的，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 函数的图象大致为（ ）
10.已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11.平面四边形为凸四边形，且，，，，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数满足条件：对于，唯一的，使得.当成立时，则实数( )
A. B. C.+3 D.+3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是_______．
14.已知圆，当圆面积最小时，直线与圆相切，则 .
15.已知正方形的边长为，在平面内的动点满足，则的最大值是 .
16. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，，那么 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17. （本小题满分12分）
已知公差不为的等差数列中，，且成等比数列.
(1)求数列通项公式；
(2)设数列{}满足，求适合方程的正整数的值.
18.疫情过后，某商场开业一周累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元） | |||||
购物单张数 | 25 | 25 | 30 | ？ | ？ |
由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等（用频率估计概率），完成下列问题：
（1）估计该商场开业一周累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的购物单张数；
（2）为鼓励顾客消费，拉动内需，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值元、元、元的奖品.已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量预计比疫情后开业一周的购物单数量增长5%，试预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.
19. （本小题满分12分）
20.如图，抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，点到x轴的距离等于.
（1）求抛物线方程；
（2）过与垂直的直线和过与轴垂直的直线相交于点，与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.
21.设, 已知函数
(Ⅰ) 讨论函数的单调性；
(Ⅰ) 设函数在点处的切线互相平行，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分
选修4-4：坐标系与参数方程
- 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）若曲线和有且仅有一个公共点，求的取值范围.
选修4-5：不等式选讲
- 已知函数的定义域为.
（1）求实数取值范围；
（2）若实数的最大值为，，求证：.
文科数学答案
一．选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | A | C | A | B | C | D | A | D | C | D | D |
二．填空题.
13. 14. 15. 16.
三．解答题.
17. 【解析】：(1)设等差数列的公差为，由，
得解得或（舍），
故
(2)由（1）知，
依题有解得
18.解：（1），中位数为，又
设消费在区间内的概率为，则消费在区间内的概率为
由中位数与平均数恰好相等可知:
解得，
故单笔消费超过800元的购物单张数为：（张）.................... 6分
（2）设等差数列的公差为，则，解得
故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为
今年的购物具有抽奖资格的单数约为，
故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为
采购奖品的开销可估计为（元） ............. 12分
20.解：（1）由抛物线定义可知，即 .................... 4分
（2）设，直线的方程为：
由得，，.................... 5分
所在的直线方程是；， .................... 6分
设，三点共线，可知 .................... 8分
得 .................... 10分
.................... 12分
- 解：（1）当时，
令，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减；....... 2分
当时，，所以在上单调递减 .................... 3分
又因为在上连续，故在上单调递增，在上单调递减. .................... 5分
（2）由图可知，不妨，则 .................... 6分
又，所以 .................... 9分
则，化简得
令， .................... 11分
因为，则，，即 .................... 12分
- 解：（1）由，可知曲线的直角坐标方程为
即，其中.
曲线的直角坐标方程为 .................... 5分
（2）由可知，由图像可知 .................... 10分
23.解：(Ⅰ) 恒成立
，又 .................... 5分
(2)由（1）知，所以，
又，
所以． .................... 10分
