辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题
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数学试题（理科）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项.）
1.已知集合，集合，则有
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120、150、180、150名高三学生参加某次数学调研考试. 为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案，方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法
C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法
4.“为第一或第四象限角”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则
A. B. C. D.
7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比
A.100 B.1000 C. D.
8．如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，，垂足为点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为
A. B.4 C. D.2
10.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为
A. B. C. D.
11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为
A. B. C. D.
12.已知函数（，）满足，
，且在区间上是单调函数，则的值可能是
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）
13.等差数列中，，公差，是其前项和，若，则 .
14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .
15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为 .
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在 ①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，，求的面积的大小．
18.（本小题满分12分）
某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级． 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（Ⅰ）求物理原始成绩在区间的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
附：若随机变量，则，，.
19.（本小题满分12分）
如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知函数，.
（Ⅰ）求 函数的单调区间；
（Ⅱ）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值．
请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，求.
23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】
已知，函数，.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.
东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（理科）答案
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C
二、填空题共4小题，每题5分，满分20分.
13. 46 14. 15. 16.
17.(本小题满分12分)
【详解】因为，，
，所以． ………………2分
显然，所以，又，所以．………………4分
若选择①由得,
又,， ………………6分
由，得． ……………………………8分
又
，………………10分
所以． ……………………………12分
若选择②，
……………………8分
所以 ……………………………12分
18. (本小题满分12分)
【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
． ………………3分
所以物理原始成绩在（47，86）人数为（人）．
………………5分
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
………………6分
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以，
，
，
． ………………9分
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
………………10分
因为,所以数学期望． ………………12分
19. (本小题满分12分)
【详解】（1）证明：因为，
所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，
所以平面. ………………4分
（2）因为，
所以是二面角的平面角，即，
在中，， ………………6分
取的中点，连接，因为,
所以,由（1）知，平面，为的中位线，
所以，即两两垂直， ………………7分
以为原点建立如图所示的坐标系，设，则
，
， ………………8分
设平面的一个法向量为，
则由得令，得，
………………10分
所以，
所以直线与平面所成角正弦值为. ………………12分
20.(本小题满分12分)
【详解】(1)的定义域为，
对于函数，
①当时，在恒成立.
在恒成立.在为增函数；
② 当时，由，得；
由，得；
在为增函数，在减函数.
综上，当时，的单调递增区间为
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
………………4分
（2），
存在不动点，方程有实数根，即有解，
………………5分
令，，………………6分
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
， ………………8分
设,则,,即时,
将两边取指数,则 ………………10分
当时,
当时 ,
当时，有两个不同的不动点，
………………12分
21.(本小题满分12分)
【详解】（Ⅰ）解：设.
，
，即.
. 又，.
从而.
曲线的方程为. ………………4分
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．
故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，
由，消去得，
则， ………………6分
将式子中的换成，得：． ………………7分
， ………………9分
设，则．
故，取等条件为即，
即，解得时，取得最大值． ………………12分
22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】
解：（1）由得，
即，
故曲线的极坐标方程为.
射线的直角坐标方程为. ………………5分
（2）将代入，
得，即，
则，，
所以.
………………10分
23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】
解：（1）因为，所以，
两边同时平方得，
即，
当时，；
当时，. ………………5分
（2）因为，
所以的最小值为3，
所以，则，
解得，
故的最大值与最小值之和为. ………………10分
