2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，已知复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】

由题意，，

则．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

2．已知集合，.若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据集合元素所表示的意义，以及集合关系，即可求解.

【详解】

因为，所以直线与

直线平行，所以.

故选:C.

【点睛】

本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.

3．在等比数列中，已知，，则（    ）

A．12 B．18 C．24 D．36

【答案】C

【解析】根据题意，设公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得的值，计算可得答案．

【详解】

根据题意，等比数列中，设其公比为q，

已知，，则，解可得或，舍；

故，

故选：C．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．

4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由程序框图可知，函数为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】

由程序框图可知，函数为奇函数且存在零点．

对于A、，定义域为，

且，函数为奇函数，又，函数存在零点；

对于B、，∵在定义域内恒成立，∴不存在零点；

对于C、恒成立，不存在零点；

对于D、，定义域为R，，函数为偶函数．

∴可以输出的函数为，

故选：A．

【点睛】

本题考查程序框图，考查函数奇偶性的判定与零点的判定，是中档题．

5．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）

A．这组新数据的平均不变 B．这组新数据的平均数为am

C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差不变

【答案】D

【解析】考查平均数和方差的性质，基础题．

【详解】

设这一组数据为，由，，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.

6．直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

圆的标准方程为，圆心为，半径，

若直线与圆有两个不同的交点，

则圆心到直线的距离，

即，得，得，

则的一个必要不充分条件是，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．

7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意共包含个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.

【详解】

依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，

而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，

所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.

8．设抛物线的焦点为F，抛物线C与圆交于MN两点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O，设另一个交点M的坐标，由MN的值可得M的坐标与p的关系，两个方程联立可得M的纵坐标，代入MN的值可得p的值．

【详解】

由题意可得圆的圆心为：，半径为，过原点O，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O与N重合，

如图：

设M坐标，由题意可得，①，

联立抛物线与圆的方程可得：②，

①②联立可得：，代入①可得，，解得：，

故选：B．

【点睛】

考查抛物线与圆相交求交点，及相交弦长的应用，属于中档题．

9．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（    ）

A．，且直线，异面 B．，且直线，相交

C．，且直线，异面 D．，且直线，相交

【答案】A

【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．

【详解】

∵，

如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，

故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，

故直线D1E，AF异面．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．

10．已知奇函数满足，则的取值可能是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】由是奇函数知,可得,由知关于对称, 即可得出,进而解得,根据选项即可的出答案.

【详解】

由是奇函数得，所以，

又因为得关于对称，

所以，解得.

所以当时，得.

故选:.

【点睛】

本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知的奇偶性,对称轴时求的问题,难度较易.

11．直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任意一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】不妨设，计算得到，再利用均值不等式得到答案.

【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得，

∴不妨设，∵，

∴，

∵为双曲线上的任意一点，∴，∴，

∴（时等号成立），可得，

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

12．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求导得到在上递增，在上递减，得到，计算得到答案.

【详解】

时，；，，

∴在上递增，在上递减，

，即的值域为.

令，则，

∵在上递增，在上递减，要使的值域为，

则，∴的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.

二、填空题

13．已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.

【答案】15

【解析】令，可以求出，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。

【详解】

已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，

二项展开式的通项公式为，令，

所以常数项为。

【点睛】

本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。重点考查了二项展开式中的常数项。

14．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

【答案】

【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.

【详解】

取圆柱下底面弧的另一中点，连接，

则因为C是圆柱下底面弧的中点，

所以，

所以直线与所成角等于异面直线与所成角.

因为是圆柱上底面弧的中点，

所以圆柱下底面，所以.

因为圆柱的轴截面是正方形，

所以，

所以直线与所成角的正切值为.

所以异面直线与所成角的正切值为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.

15．设是等差数列的前n项和，若，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，根据前n项和公式，可得公差的取值范围，即可求出的取值范围.

【详解】

解：设等差数列的公差为，

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.

16．已知函数，若，则不等式的解集为__________，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是__________．

【答案】       

【解析】将a=1代入原函数，可得的解析式，可得不等式的解集；

分a的情况进行讨论，可得有两个零点时候，a的取值范围.

【详解】

解：由题意得：，当a=1时，，

可得：（1）当时，，可得；（2）当时，，可得，综合可得的解集为；

由，只有一个零点时，，可得，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，同理，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，

故可得的取值范围是

【点睛】

本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用.

三、解答题

17．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在中，内角的对边分别为，设的面积为，已知              .

（1）求的值；

（2）若，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）如果选择条件①，用余弦定理和三角形面积公式化简即得的值；如果选择条件②，利用正弦定理化简得，再求的值；（2）如果选择条件①，先求出，代入即得解；如果选择条件②，求出，再利用余弦定理即得解.

【详解】

（1）选择条件①：

由題意得.即

整理可得，

又.所以，所以.

选择条件②：

因为，

由正弦定理得，

，

即

在中，，所以，

，所以

（2）如果选择①，由，得，又

则，解得.

将代入中，

得，

解得.

如果条件②：，解得，又a=10,

所以，所以.

【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，

(1)证明:;

(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   （2）

【解析】（1）先证明BD⊥平面PAD,再证明；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为，又底面为直角梯形

面底面

因为面底面,平面ABCD,

所以BD⊥平面

所以.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

设平面的法向量为

所以，令

设平面的法向量为

令

设二面角的平面角为 .由图观察为钝角

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．

图（3）

（1）求和频率分布直方图中的，的值；

（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；

（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】（1），，；（2） （3）分布列见解析，

【解析】（1）结合茎叶图中分数在70~80的人数以及频率分布直方图中对应的频率，计算得到n，x，y的值；

（2）先利用古典概型计算从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率，该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件服从二项分布，利用公式计算即得解；

（3）随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式计算即得解.

【详解】

解：（1）由题意可知，样本容量，

解得，．

（2）成绩能被重点大学录取的人数为人，

抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是，

故从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率为．

记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为；

则．

（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数人，故随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．

所以，；；

；；

故随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．

【点睛】

本题考查了统计与概率综合，考查了学生数学应用，综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

20．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.

（1）求出动点的轨迹的标准方程；

（2）设动直线与曲线有且仅有一个公共点，与圆相交于两点（两点均不在坐标轴上），求直线的斜率之积.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）计算得到，根据，计算得到答案.

（2）讨论直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况，计算得到答案.

【详解】

（1）因为，即

所以，所以

又因为，所以，即，即.

所以曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组得.

∵直线与椭圆有且仅有一个公共点，

∴，即.

由方程组得，

则.

设，则，

设直线的斜率分别为，

所以

，

将代入上式，得.

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为.

此时，圆与的交点也满足.

综上，直线的斜率之积为定值.

【点睛】

本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆内的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论.

【答案】（1）当时，在上是增函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数； （2）当时，；当时，；当时，.见解析

【解析】（1）求导得到，讨论，，三种情况计算得到答案.

（2）根据题意有一变号零点在区间上，得到，构造函数，根据函数的单调性得到答案.

【详解】

（1）定义域为，

设

当时，，此时，从而恒成立，

故函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，函数图象开口向上，对称轴，又

所以此时，从而恒成立，

故函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，，设有两个不同的实根，

共中，

令，则，

令，得或；令，得或，

故函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.

综上，当时，函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.

（2）要使在上有极值，由（1）知，①

则有一变号零点在区间上，不妨设，

又因为，∴，又，

∴只需，即，∴，②

联立①②可得：.

从而与均为正数.

要比较与的大小，同取自然底数的对数，

即比较与的大小，再转化为比较与的大小.

构造函数，则，

再设，则，从而在上单调递减，

此时，故在上恒成立，则在上单调递减.

综上所述，当时，；

当时，；

当时，.

【点睛】

本题考查了函数单调性，利用导数比较函数值大小，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l和曲线的极坐标方程；

（2）曲线分别交直线l和曲线于点A，B，求的最大值及相应的值.

【答案】(1)直线的极坐标方程为：；曲线的极坐标方程为：；(2) 当时，,的最大值为.

【解析】(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；

(2)设出点的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解.

【详解】

(1)由题意，直线的直角坐标方程为：，

直线的极坐标方程为：，

曲线的直角坐标方程：，

曲线的极坐标方程为：.

(2)由题意设：，，

由(1)得，，

，

，，

当，即时，,

此时取最大值.

【点睛】

本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用，属于中档题.

23．已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若不存在实数，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）

【解析】（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.

（2）题目等价于恒成立，利用绝对值三角不等式得到答案.

【详解】

（1）

当时，，解得，∴；

当时，，解得，∴；

当时，，解得，∴.

综上所述，不等式的解集为.

（2）不存在实数，使得，等价于恒成立，

即恒成立.

∵，∴

当时，，解得；

当时，，解得.

∴时，不存在实数，使得.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立求参数，意在考查学生的综合应用能力.