辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题

东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（理科）      考试时间：120分钟     试卷满分：150分   第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合，集合，则有A. B. C. D.2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于  A.第一象限       B.第二象限      C.第三象限      D.第四象限3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120、150、180、150名高三学生参加某次数学调研考试. 为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案，方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是  A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法  C.系统抽样法、分层抽样法          D.简单随机抽样法、分层抽样法4.“为第一或第四象限角”是“”的  A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件   D.既不充分也不必要条件5.已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为  A.     B.     C.     D.6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则  A.       B.       C.       D.7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比  A.100         B.1000        C.         D.8．如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是       ①             ②          ③            ④  A.1         B.2        C.3        D.49.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，，垂足为点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为  A. B.4           C. D.210.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为   A. B. C. D.11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为  A.         B.        C.         D.12.已知函数（，）满足，，且在区间上是单调函数，则的值可能是A.3          B.4          C.5 D.6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13.等差数列中，，公差，是其前项和，若，则        .14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为        .15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为        . 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为        .三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 在 ①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，，求的面积的大小．  18.（本小题满分12分）某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级． 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求物理原始成绩在区间的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．附：若随机变量，则，，.  19.（本小题满分12分） 如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.    20.(本小题满分12分) 已知函数，.（Ⅰ）求 函数的单调区间；（Ⅱ）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值．    请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，求.  23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】已知，函数，.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.
  东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（理科）答案一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。1.C  2.D  3.B  4.A  5.D  6.C  7.B  8.B  9.A  10.B  11.D   12.C二、填空题共4小题，每题5分，满分20分.13. 46   14.   15.   16.17.(本小题满分12分)【详解】因为，，，所以．               ………………2分显然，所以，又，所以．………………4分若选择①由得,又,，                               ………………6分由，得．   ……………………………8分又，………………10分所以．             ……………………………12分若选择②， ……………………8分所以          ……………………………12分18. (本小题满分12分)【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以                       ．                                   ………………3分所以物理原始成绩在（47，86）人数为（人）．                                             ………………5分（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．                                              ………………6分所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．                          ………………9分所以的分布列为0123                                                           ………………10分因为,所以数学期望．             ………………12分19. (本小题满分12分)【详解】（1）证明：因为，所以平面，又因为平面，所以.又因为，所以平面.             ………………4分（2）因为，所以是二面角的平面角，即，在中，，                  ………………6分取的中点，连接，因为,所以,由（1）知，平面，为的中位线，所以，即两两垂直，    ………………7分以为原点建立如图所示的坐标系，设，则，，                               ………………8分设平面的一个法向量为，则由得令，得，                                                     ………………10分所以，所以直线与平面所成角正弦值为.           ………………12分20.(本小题满分12分)【详解】(1)的定义域为，对于函数，①当时，在恒成立.在恒成立.在为增函数；② 当时，由，得；由，得；在为增函数，在减函数.综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递增区间为，单调递减区间为                                                            ………………4分（2），存在不动点，方程有实数根，即有解，                                                          ………………5分 令，，………………6分 令，得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ，                                       ………………8分设,则,,即时,将两边取指数,则                               ………………10分当时,当时 , 当时，有两个不同的不动点，                           ………………12分21.(本小题满分12分)【详解】（Ⅰ）解：设.，，即.. 又，.从而.曲线的方程为.                           ………………4分（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，则，                      ………………6分将式子中的换成，得：．  ………………7分，                  ………………9分 设，则．                  故，取等条件为即，即，解得时，取得最大值．  ………………12分22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】解：（1）由得，即，故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为.                      ………………5分（2）将代入，得，即，则，，所以.                                                     ………………10分23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】解：（1）因为，所以，两边同时平方得，即，当时，；当时，.                                ………………5分（2）因为，所以的最小值为3，所以，则，解得，故的最大值与最小值之和为.         ………………10分