辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）
展开2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数学(供理科考生使用)
注意事项：
1.本试卷分第I卷、第II卷两部分，共6页。满分150分；考试时间：120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上。
3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第II卷的答案写在答题纸的相应位置上。
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝
A.1－i B.1＋2i C.1＋i D.－1＋i
2.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－2x－8<0}，则A∪B＝
A.{x|－2＜x＜4} B.{x|1≤x＜2} C.{x|－4＜x≤3} D.{x|1≤x＜4}
3.已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a//b，则m＝
A.－2 B.2 C.－ D.
4.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试。为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析。完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法
C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法
5.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为
A.－3 B. C. D.2
6.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有6名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收3名同学，那么不同的接收方案共有
A.150种 B.360种 C.510种 D.512种
7.“k＝0”是“直线y＝kx－与圆x2＋y2＝2相切”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为
A. B. C. D.
9.如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是
A.14π B.2 C.28π D.10π
10.函数f(x)＝()sinx图象的大致形状是
11.已知F是双曲线C：的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝
A. B. C. D.
12.关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围
A.(2＋2，6] B.(4，6)
C.(4，2＋2) D.[4，2＋2]
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.502020＋2被7除后的余数为 。
14.设变量x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为 。
15.已知数列{an}满足a2＝－3，an＋1＋an－＝0，Sn为数列{an}的前n项和，则满足不等式|Sn－n－9|>的n的最大值为 。
16.关于x的方程(m－5)x2＋2lnx－＋m＝0有两个不等实根，则实数m的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝sinx·cos(x－)－(x∈R)。
(1)求f()的值和f(x)的最小正周期；
(2)设锐角△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f()＝，a＝2，求b＋c的取值范围。
18.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2。
(1)求证：BC1平面A1B1C；
(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；
(3)点M在线段BC上，且＝λ(λ∈(0，1)，点N在线段A1B上，若MN//平面A1ACC1，求的值(用含λ的代数式表示)。
19.(本小题满分12分)
2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二〇二〇年新年贺词)截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10。2%下降至2018年的1。7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康。现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图。
(1)将家庭人均纯年收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户家族中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；
(2)2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：
由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线任相关关系，由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺次疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度(1，2，3月份)每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的，为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从2020年3月份起，以后每月的增长率为a，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则a至少应为多少?(保留小数点后两位数字)；
①可能用到的数据：
②参考公式：线性回归方程中，。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C：离心率是，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，且三角形△F1AB周长4。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N。如果∠MF1N为锐角，求k的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。
(1)若f(x)在(0，m)处的切线的方程为y＝－8x－4，求此时f(x)的最值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式g(x)>f(a)恒成立，求实数m的取值范围。
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2的参数方程为(其中α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝ρ(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且点A，B均异于原点O)，当0<φ≤时，求|OA|2＋|OB|2的最小值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x|－|2x－2|。
(1)求不等式f(x)≥－3的解集；
(2)若a∈R，且a≠0，证明：|4a－1|＋|＋1|≥4f(x)。
2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数学（理）
参考答案及评分标准
第I卷（选择题)
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B
第II卷（非选择题)
二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．3 14．1 15．8 16．
三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题，共60分。
17．(本小题满分12分)
由题
.--------------------------4
（1）,.--------------6
（2）,,所以,---------------8
在中,由余弦定理可得：
,即,-------------------10
又因为在中,,
所以,综上可得：的取值范围是.--------------------------------------12
18．(本小题满分12分)
（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，交线为.
又因为，所以，所以平面.
因为平面，所以
又因为，所以，
又，所以平面.-----------------------------4
（2）由（1）知底面，，如图建立空间直角坐标系，
由题意得，，，.
所以，.
所以.
故异面直线与所成角的大小为.---------------------------8
（3）易知平面的一个法向量，
由，得.
设，得，则
因为平面，所以，
即，解得，所以.-----------------------------12
19．(本小题满分12分)[来源
（1）解：由频率分布直方图可知，
家庭人均年收入在[2000,3000)元的家庭数为:0.0450=2户;
家庭人均年收入在[3000,4000)元的家庭数为:0.1050=5户;
家庭人均年收入在[4000,5000)元的家庭数为:0.3250=16户;
家庭人均年收入在[5000,6000)元的家庭数为:0.3050=15户;
家庭人均年收入在[6000,7000)元的家庭数为:0.1850=9户;
家庭人均年收入在[7000,8000)元的家庭数为:0.0650=3户;
共计50户,其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有:2+5+16=23户;----------------2
由题意:X满足参数为50,23,10的超几何分布,所以EX=10=4.6户；
即这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望为4.6（户）；---------------4
（2）解：由题意得：==3.5,===410
xi2=1+4+9+16+25+36=91 62=63.52=73.5
所以：=====40
=-=410-403.5=270
所以回归直线方程为：=40x+270------------------------------6
令x=12,则可知2019年12月份该家庭人均月纯收入为40 x12+270=750（元）
由此可知2020年第一季度（1月份，2月份，3月份）该家庭人均月纯收入为750 x=500（元）
∵从2020年3月份起，每月的增长率为a,设从开始3月份到12月份的月纯收入之和为S10,则S10=500+500 x(1+a)+500 x(1+a)2+…+500 x(1+a)9==
由题意应有：∴500+500+≥8000
即： ≥14----------------------------8
显然S10是以a为自变量的增函数，∴是以a为自变量的增函数
①当a≥0.15时，≥≈=20>14 显然成立---------------10
②当0<a<0.15时，(1+a)10≈1+a+a2+a3=1+10a+45a2+120a3
∴≥14 10+45a+120a214120a2+45a-40a（舍）或a≈=≈0.074
∴为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则a至少应为0.08（8%）；---------------------12
（说明：①若考生未对a≥0.15与0<a<0.15进行讨论，扣1分；②若考生未理解“a至少”的含义而得出结果为0.07，扣1分；）
:]
20．(本小题满分12分)
（1）由题意，椭圆的离心率是，三角形周长
可得解得，所以椭圆的方程为.--------------------------------4
（2）由已知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，直线与椭圆的交点为，.
由得.
由已知，判别式恒成立，且，.①
直线的方程为，令，则同理可得.
所以
将①代入并化简，得
.---------------------------------------------------8
依题意，角为锐角，所以，即,解得或.-------------10
综上，直线的斜率的取值范围是.-------------------12
21．(本小题满分12分)
解：(1)f(x)=mex(x+2) 令x=0得： f(0)=2m 由题意：2m=-8 ∴m=-4
f(x)=-4 ex(x+2) 由f(x)>0得：x<-2, 由f(x)<0得：x>-2
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增；在(-2,+∞)上单调递减
∴fmax(x)=f(-2)=,无最小值；
(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1) lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1
(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1
令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上单调递增 φmin(x)=φ(1)=-a
∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0
令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0) h(a)=mea(a+2) +2a+4=(a+2)(mea+2)=ea(a+2)(+m)
∵a∈[-1,0) ∴∈(2,2e]
① 当-m2即m≥-2时，h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使h(a)<0恒成立，只需h(0)0
m1 ∴m∈[-2,0)∪(0,1]
②当-m≥2e即m-2e时, h(a)0 ∴h(a)在[-1,0)上单调递减，若使h(a)<0恒成立，只需h(-1)0 即-4<0 m-2e合题意；
② 当2<-m<2e即-2e<m<-2时，令h(a)=0解得：a=ln(-)∈(-1,0)
由h(a)<0得：ln(-)<a<0,由h(a)>0得：-1<a<ln(-),
∴h(a)在（-1，ln(-)）上单调递增，在（ln(-)，0）上单调递减
h(a)max=h(ln(-))=ln2(-)+2ln(-)-3=(ln(-)+3)(ln(-)-1)
由题意：h(a)min<0即：-3<ln(-)<1 -2e3<m<-2e-1 又-2e<m<-2
∴-2e<m<-2 合题意
综上，m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]
法二：离参法
①若a=-1，则-4<0恒成立，m≠0合题意；
②若,则h(a)<0-m>
令t(a)= 则t(a)=-
∵a∈(-1,0) ∴t(a)>0 t(a)在(-1,0)上单调递增
由题意：-mt(0)=-1 即m1 又∵m≠0
∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]
(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
（1）曲线的普通方程为，令，，
可得的极坐标方程为，
曲线的普通方程为，令，，
可得的极坐标方程为.---------------------5
（2）联立与的极坐标方程得，
联立与的极坐标方程得，
则
（当且仅当时取等号）.
所以的最小值为.-------------------------10
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
(1)法一：
，
作出的图象，如图所示：
结合图象，
函数上单调递增，
在上单调递减，
又，，
所以不等式的解集是.------------------------5
法二：，
等价于：或或，
解得：或或，
所以不等式的解集是.----------------5
(2)由(1)知函数的最大值是，所以恒成立.
因为，
当且仅当时，等号成立.
所以.--------------------------10
