辽宁省葫芦岛市2020届高三第一次模拟考试文科数学试题

2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试

数 学（供文科考生使用）

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．

3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．

4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限

2． , 则

A．     B．         C．  D．

3．已知向量，且，则m=

A．   B．2    C．        D．

4．某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120,150,180,150名高三学生参加某次数学调研考试．为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是

A．分层抽样法、系统抽样法  B．分层抽样法、简单随机抽样法

C．系统抽样法、分层抽样法  D．简单随机抽样法、分层抽样法

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为

A．        B．       C．        D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为

A．-3     B．      C．      D．2

7．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，

长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思

是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；

尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成

等差数列．”则下列说法正确的是

A. 该金锤中间一尺重3.5斤

B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍

C. 该金锤的重量为15斤

D. 该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤

8．已知命题p：;命题q：若,则a>b.下列命题为真命题的是

A．       B．      C．     D．

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是

某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为

A.    B.

C.    D.

10．函数图象的大致形状是

        A                 B                   C                   D

11．已知双曲线C：的两个焦点为，，过且与x轴垂直的直线交C的渐近线于A，B两点.若为直角三角形，则双曲线C的离心率为

A.    B.    C.    D.

12. 关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围

A．     B．  

C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.

13．函数 的单调递增区间是　   　．

14. 设变量x,y满足约束条件，则的最小值为         ．

15. 已知，且，则的最小值为       ．

16．已知，函数若对任意，，恒成立，则m的取值范围是         ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

已知函数.

（1）求的值和的最小正周期；

（2）设锐角的三边a，b，c所对的角分别为A,B,C，且，，求b+c的取值范围.

18．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱中，平面，分别是线段AB，的中点.

（1）证明：平面；

（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.

19．(本小题满分12分)来源:学科网ZXXK]

2020年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标;2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二〇二〇年新年贺词) 截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%;连续7年每年减贫规模都在1000万人以上;确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.

（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；

（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表:

由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系,请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1,2,3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的,从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；

①可能用到的数据：xiyi=9310;

②参考公式：线性回归方程=x+中，=,=-.

20．(本小题满分12分)

已知，是椭圆C：的左右两个焦点，过的直线与C交于P，Q两点（在第一象限），的周长为8，C的离心率为.

（1）求C的方程；

（2）设，为C的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

21．(本小题满分12分)

已知函数f (x)=mex(x+1)(m≠0),g(x)=ex+x+ax2.

（1）若f (x)在(0,m)处的切线的方程为y=2x+n,求m,n的值并求此时f (x)的最值；

（2）在（1）的条件下,不等式f (x)g (x)在x0时恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 直线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）已知与相切，求的值.

23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，且，证明：.

2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试

数学（文）

参考答案及评分标准

第I卷（选择题)

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．B

第II卷（非选择题)

二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．(2, +)   14．1   15．   16．

三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题，共60分。

17．(本小题满分12分)

由题

.--------------------------4

（1）,.--------------6

（2）,,所以,---------------8

在中,由余弦定理可得：

,即,-------------------10

又因为在中,,

所以,综上可得：的取值范围是.--------------------------------------12

18．(本小题满分12分)

(1)证明：连接与相交于点，连接，

由侧面为平行四边形可得是线段的中点，

又因为是线段的中点，∴---------------------3

∵平面，平面，

∴平面.----------------------------------------6

(2)∵平面，平面，∴

∵，是线段的中点，∴

∵，平面，∴平面，

∴线段为三棱锥的高，

∵，∴，-------------------------8

∵平面，平面，∴，

∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，

∴，-------------10

∴----------------------12

19．(本小题满分12分)[来源

（1）              解：由频率之和为1可得： 家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18,所以频率分布直方图如下：

(补图)------------------------------------------------------------------------------------------------2

中位数为：5+=5+=5.133(千元)------------------------------4

(或：设中位数为x，则=,解得：x=5.133)

平均数=2.50.04+3.50.10+4.50.32+5.50.30+6.50.18+7.50.06=5.16(千元)-----------------------------6

（2）解：由题意得：==3.5,===410

xi2=1+4+9+16+25+36=91  62=63.52=73.5

所以：=====40

=-=410-403.5=270

所以回归直线方程为：=40x+270

设y为2020年该家庭人均月纯收入，则x=13,14,15时，y=(40x+270),即2020年前三月总收入为：(790+830+870)=830元；

当x=16,17,…,24时，y=(40x+270)=32x+216, 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984,构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为：=7704

所以2020年该家庭总收入为：7704+830=8534>8000

所以该家庭2020年能达到小康标准-------------------------------------------------------------12

:学科网ZXXK]

20．(本小题满分12分)

（1）由条件得解得，

所以的方程为.--------------------------4

（2）由（1）得，，，

当直线的斜率不存在时，，，

，.-------------------------6

当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，

设，，由得

，

则，，

∴

.∴.---------------------------------8

因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）

∴，-----------------10

∴.------------------------12

21．(本小题满分12分)

解：(1)f(x)=mex(x+2)  令x=0得： f(0)=2m   由题意：2m=2    ∴m=1

f(0)=m=1    ∴n=1-----------------------------------------------------------------------------2

f(x)=ex(x+2)   由f(x)>0得：x>-2, 由f(x)<0得：x<-2

∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减；在(-2,+∞)上单调递增

∴fmin(x)=f(-2)=-,无最大值；---------------------------4

(2) f(x)g(x) ex(x+1)≥ex+x+ax2x(ex-1)-ax2≥0

法一：①当x=0时，0≥0,a∈R--------------------6

②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0ex-1-ax≥0

令h(x)= ex-1-ax,则h(x)=ex-a

∵x>0  ∴ex>1   

(i)若a1,则h(x)≥0   h(x)在(0,+∞)上单调递增，h(x)>h(0)=0   合题意；----------------------------------8

(ii)若a>1,令h(x)=0得：x=lna>0   由h(x)<0得：x<lna   所以h(x)在（0，lna）上单调递减   ∴h(x)<h(0)=0    这与h(x)>0恒成立矛盾   所以a>1不合题意；-------------------------------------------------10

综上a的取值范围是(-∞,1]-----------------------12

法二：①当x=0时，0≥0,a∈R----------------------------------6

②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0ex-1-ax≥0a---------------------8

令h(x)=    则h(x)=    令t(x)=ex(x-1)+1,则t(x)=xex>0  

所以t(x)在(0,+∞)单调递增，∴t(x)>t(0)=0   即h(x)>0    ∴h(x)在（0，+∞）上单调递增---------10

又h(x)= =ex=1

∴t(x)<1    若使a恒成立，只需a1

∴a的取值范围是(-∞,1]---------------------------------------12

（说明：①无论法一还是法二，若考生不对x进行讨论而得到ex-1-ax≥0，均需扣1分；

②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答题情况酌情扣1-2分）

法三：f(x)g(x) ex(x+1)≥ex+x+ax2x(ex-1)-ax2≥0

令h(x)=x(ex-1)-ax2   则h(x)=ex(x+1)-1-2ax   令t(x)=ex(x+1)-1-2ax.   则t(x)=ex(x+2)-2a

显然t(x)在(0,+∞)上单调递增，∴t(x)≥t(0)=2-2a-----------------------------------------------------------------------6

(i)当2-2a≥0即a1时，t(x)≥0恒成立，∴t(x)在(0,+∞)上单调递增∴t(x)≥t(0)=0即h(x)≥0   ∴h(x)在[0,+∞)上单调递增     ∴h(x)≥0恒成立   即a1合题意；--------------------------------------------8

(ii)当2-2a<0即a>1时,t(0)=2-2a<0,t(a)=ea(a+2)-2a>2(a+2)-2a>0    ∴存在唯一x0∈(0,+∞)使t(x0)=0,当0<x<x0时，t(x)<0, ∴t(x)在(0,x0)上单调递减，∴t(x)<t(0)=0   即h(x)<0

所以h(x)在(0,x0)上单调递减   所以h(x)<h(0)=0  这与h(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，所以a>1不合题意；---------------------10

 综上：a的取值范围是(-∞,1]----------------12

(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）因为，，两式相减，有，

所以的直角坐标方程为.---------------------------------3

直线的直角坐标方程为.---------------------------5

（2）联立与的方程，有，消，

得，--------------------7

因为与相切，所以有，

解得：.----------------------------------10

23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

(1)法一：

，

作出的图象，如图所示：

结合图象，

函数上单调递增，

在上单调递减，

又，，

所以不等式的解集是.------------------------5

法二：，

等价于：或或，

解得：或或，

所以不等式的解集是.----------------5

(2)由(1)知函数的最大值是，所以恒成立.

因为，

当且仅当时，等号成立.

所以.--------------------------10