江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟数学（文）试题
展开2020届南昌市八一中学高三文科数学第三次模拟考试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则 ( )
A． B． C． D．
2．若复数z与其共轭复数满足，则( )
A． B． C．2 D．
3. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
4．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A． B． C．10 D．
5．若满足约束条件，且，则（ ）
A. z的最大值为6 B. z的最大值为8
C. z的最小值为6 D. z的最小值为8
6.函数的部分图像大致为( )
7．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
8．设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）
A. B. C. D.
9．若函数(其中，)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．设是的前项和，，且，则( )
A． -66 B． 77 C． 88 D． 99
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，又为双曲线的离心率，则的值为( )
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线在点处的切线的斜率为
14. 若向量与向量共线，则的值是
15．已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的横坐标为
16. 已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- （本小题12分）
在锐角△ABC中，,，
（1）求角A;
（2）求△ABC的周长l的范围．
18．（本小题12分）
某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班名学生每周课下钻研数学时间（单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分，数据如下表：
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | |
30 | 38 | 44 | 48 | 50 | 54 |
（1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为小时其数学考试中的解答题得分；
（2） 从这人中任选人，求这人中至少有人课下钻研数学时间不低于小时的概率.
参考公式：，其中，
参考数据：，，
19．（本小题12分）
如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， ， 底面，点分别为，的中点．
（1） 求证：平面平面；
（2） 在线段上是否存在点，使得三棱锥体积 为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由．
20．（本小题12分）
已知.
（1）当时，求证：在上单调递减；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
21.（本小题12分）
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”。已知椭圆上的点的下辅助点为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标；
（3）已知直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，满足，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，使得恒成立，求的取值范围．
高三文科数学三模测试参考答案
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | A | B | C | C | A | B | B | C | C | D |
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
17.解（1）∵cos A(2b-c)＝acos C
. .........6分
（2） .........8分
........10分
.........11分
. .........12分
18.（1） ………… 1分
………… 4分
…………5分
当时， …………6分
（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A” ………7分
所有基本事件如下：
（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），（4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）
共15个基本事件 …………… 9分
事件A包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8），（6，10）（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共12个基本事件 ………… 11分
所以 ………… 12分
19. （1）因为底面，底面所以， ……….2分
又因为，
所以平面, …….. 4分
因为平面，所以平面 平面 ………… 5分
（2）过G作
面ABC，面PAB面ABC
又面PAB面ABC=AB，面ABC ………… 7分
，
且， ………… 9分
， ………… 11分
为PB中点 ………… 12分
20.（1）解：,
对于，
当时，，
所以.
所以在上单调递减. ………………………4分
（2）解：当时，，对于，命题成立，
当时，设，
则. 因为，
所以，在上单调递增.
又， 所以.
所以在上单调递增，且.
① 当时，，所以在上单调递增.
因为，所以恒成立.
② 当时，，因为在上单调递增，
又当时，，
所以存在，对于，恒成立.
所以在上单调递减，所以当时，，不合题意.
综上，当时，对于，恒成立. ………………………………12分
21．（1）椭圆上的点的下辅助点为，
辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，
将点代入椭圆方程中，解得，
椭圆的方程为； ……………4分
（2）设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，，，故，即，
又，则 ……………6分
将与联立可解得或，
下辅助点的坐标为或； ……………7分
（3）由题意可设，.
联立整理得，则.
根据韦达定理得 ， ……………8分
因为. 所以，
因为点在椭圆上，所以，
整理得，即 ……………10分
在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.
令，得，令，得.
所以三角形面积为
当且仅当，时，取等号，此时.
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为. ……………12分
22.解：（1）因为直线，故，
即直线的直角坐标方程为.……………2分
因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即. 4分
（2）设直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的直角坐标系方程得.
设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分
所以M对应的参数，……………8分
故……………10分
23.解：（1）不等式可化为，
当时，，，所以无解；……………1分
当时，，所以；……………2分
当时，，，所以.……………3分
综上，不等式的解集是.……………5分
（2），
又，使得恒成立，则，……………8分
，解得.
所以的取值范围为.……………10分
