江西省南昌市2020届高三模拟考试数学（理）试题
展开南昌市第二次模拟测试卷
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是三条不重合的直线，平面相交于直线c，，则“相交”是“相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知中角所对的边分别为，若，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．直线被圆截得最大弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为（参考数据）
A．30米 B．50米 C．60米 D．70米
11．已知F是双曲线的右焦点，直线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数有且只有三个零点，则属于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______________．
14．已知梯形中，，则_____________．
15．已知，则等于_______________．
16．已知正四棱椎中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱椎表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号填到横线上）
①2； ②； ③3； ④．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足____________．（从①）；②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
（I）求；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
18．（12分）如图所示，四棱柱中，底面是以为底边的等腰梯形，且．
（I）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线AB与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知双曲线上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为．
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由．
20．（12分）已知函数（，且，e为自然对数的底）．
（I）求函数的单调区间
（Ⅱ）若函数在有两个不同零点，求a的取值范围．
21．（12分）某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分。最后25组同学得分如下表：
组别号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
男同学得分 | 5 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 4 |
女同学得分 | 4 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 5 |
分差 | 1 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 | -1 | 0 | 2 | -1 |
| |||||||||||||
组别号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
|
男同学得分 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 |
|
女同学得分 | 5 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | 5 | 5 | 3 | 4 | 5 | 5 |
|
分差 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | -2 | -2 |
|
（I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．
①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P，．
试问该课题研究小组是否会接受该模型．
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
参考公式和数据：
，
；若，有，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；
（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）求证：．
NCS20200707项目第二次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | A | D | B | D | C | D | B | B | C | D |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．①③
三。解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．【解析】（I）①由，得，即；
②由，，成等比数列，得，，即﹔
③由，得，即； （每个条件转化1.5分）
选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔ 6分
（Ⅱ），
，
两式相减得：， 9分
得 12分
18．【解析】（Ⅰ）中，，，，得， 2分
则，即， 4分
而，故平面，
又面ABCD，所以平面平面ABCD． 6分
（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，
由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD．
由等腰梯形知识可得，则. 8分
以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，则，
令，则，有，
所以，，
即直线AB与平面所成角的正弦值为． 12分
19．【解析】（1）设，
由，知，
所以，，得，即，
即双曲线渐近线方程为； 5分
（Ⅱ）由， 6分
设，则PM方程为，
由，得；
由，得 7分
由渐近线性质，得，，
同理可得，， 9分
由是平行四边形，知，
所以，，
即
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. 12分
20．【解析】（I）由，知 1分
①当时，定义域为得，得；
②当时，定义域为得，得
所以，当时，增区间为，减区间为；
当时，增区间为，减区间为；（每类讨论2分） 5分
（Ⅱ）因为有两个正零点，则 6分
由（I）知在上单调递减，在上单调递增.
设时，指数函数是爆炸增长，，
当，当， 7分
因为有两个正零点，所以有， 9分
由①得，
对于②，令=，，
在上单调递增，且，由知，
由②得
综上所述， 12分
21．【解析】（I）由表可得
| 男同学 | 女同学 | 总计 |
该次大赛得满分 | 10 | 14 | 24 |
该次大赛未得满分 | 15 | 11 | 26 |
总计 | 25 | 25 | 50 |
2分
所以，
所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； 4分
（Ⅱ）可得； 6分
由题知，而，
故不存在 7分
知满足的i的个数为3，即
当
9分
设从服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，所以，，综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型. 12分
22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，
故极坐标方程为﹔
（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），
代入，化简得，
，，
且 6分
由，A在E内部，知，
得或，
所以，当时，解得，
所以，当时，解得 （每个结果1.5分）
所以或． 10分
23．【解析】（Ⅰ）当时，不等式为，平方得，
则，得，即或，
所以，所求不等式的解集； 5分
（Ⅱ）因为
， 8分
又，
所以，不等式得证． 10分
