吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学（理）试题
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数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 已知集合,则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 等比数列的前题目要求的．）
1.项和为，若，，则 （ ）
A.31 B. 36 C. 42 D.48
5. 设，其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A.540 B.729 C.216 D.420
7. 执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 2016 B. 2 C. D.
8. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是
10．设函数，的零点分别为，则（ ）
A. B.0＜＜1 C.1＜＜2 D.
11. 在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13. 已知，则____________.
14. 设随机变量～，若，则____________.
15. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.
16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式____________.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（1）求证：成等差数列；
（2）若 求.
18． (本小题满分12分)
如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．
（1）求证：；
（2）若时，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
分组（单位：岁） | 频数 | 频率 |
[20，25) | 5 | 0.05 |
[25，30) | ① | 0.20 |
[30，35) | 35 | ② |
[35，40) | 30 | 0.30 |
[40，45] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
20. (本小题满分12分)
椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．
21. (本小题满分12分)
函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.
（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.
请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4一4:坐标系与参数方程
已知直线C1: ，（t为参数），曲线C2: ，(为参数).
（Ⅰ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当时,求C1与C2的交点的极坐标（其中极径，极角）；
（Ⅱ）过坐标原点作C1的垂线,垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设.
（1）求的解集;
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
线上考试参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1-5： CABAA 6-10：ABCDB 11-12：BD
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：（1）由正弦定理得：
即
∴
即
∵
∴ 即
∴成等差数列。
（2）∵ ∴
又
由（1）得： ∴
∴ 即
18：解：（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．
又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF，
于是．又，所以平面OEC，
所以，
又因，故平面，所以．
（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，
在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
从而设平面的法向量，由，
得，
同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为
19．（1）①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．
由题意知，X的可能取值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝．
∴X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 |
P |
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
20.解：（1），由题设可知，得 ①，点P在椭圆C上， ② ③ …3分
①③联立解得，…4分，故所求椭圆的方程为…5分
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，
整理得 （a）
方程（a）有且只有一个实根，又，所以得 -------8分
假设存在满足题设，则由
对任意的实数恒成立,所以， 解得，
当直线的斜率不存在时，经检验符合题意. 综上所述，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等1. …12分
21.解：（1）∵
由已知 ∴ 得 ………2分
∴
当为增函数；
当时，，为减函数。
∴是函数的极大值点…4分 又在上存在极值
∴ 即
故实数的取值范围是 ……5分
（2）
即为 ……6分
令
则
再令 则
∵ ∴ ∴ 在上是增函数
∴ ∴ ∴在上是增函数
∴时， 故 ………9分
令
则
∵ ∴ ∴ 即上是减函数
∴时， ………11分
所以， 即 ………12分
22．解：（Ⅰ）当时，C1的普通方程为，
C2的普通方程为，------------1分
联立方程组，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），．------------3分
所以两点的极坐标为，--------------5分
（Ⅱ）C1的普通方程为，A点坐标为，
故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数）
P点轨迹的普通方程为．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
23.解： (1)由得：
或或
解得
所以的解集为
（2）
当且仅当时，取等号.
由不等式对任意实数恒成立，可得
解得：或. 故实数的取值范围是
