2020届吉林省长春市第十一高中高三下学期线上模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省长春市第十一高中高三下学期线上模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：,

,所以，故选C．

【考点】集合的运算．

2．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结果．

【详解】

由题意得：    复数所对应点的坐标是

本题正确选项：

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果.

【详解】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，

圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积，

圆柱和圆锥的高，故组合体的体积，

故选：B．

【点睛】

本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题.

4．等比数列的前项和为，若， ， ， ，则（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：由于在等比数列中，由可得： ，

又因为，

所以有： 是方程的二实根，又， ，所以，

故解得： ，从而公比；

那么，

故选D．

【考点】等比数列．

5．若的最大值为6，的最小值为（ ）

A．0 B．-1 C．-2 D．-3

【答案】D

【解析】作出不等式对应的平面区域，

由z=x+y,得y=−x+z,

平移直线y=−x+z，由图象可知当直线y=−x+z经过点A时，直线y=−x+z的截距最大，

此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=−x+z的截距最小，此时z最小．

由得A(3,3)，

∵直线y=k过A，

∴k=3.

由,解得B(−6,3).

此时z的最小值为z=−6+3=−3，

本题选择D选项.

点睛：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．

6．有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，先对人数进行分组共有三种情况：；；，分别计算3种情况下的数目，相加即可得答案.

【详解】

人数进行分组共有三种情况：；；，

若分组分，共有；

若分组分，共有；

若分组分，共有；

不同分派方法种数为.

故选：A.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意先分组、再排列.

7．执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）

A．2016 B．2 C． D．-1

【答案】B

【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得，满足条件；满足条件；满足条件；满足条件；满足条件；……观察规律可知，的取值以为周期，由，有满足条件，不满足条件，退出循环，输出的值为，故选B．

【考点】程序框图．

8．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】二项式项的公式r，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值

【详解】

由题意的展开式的 ，

令 ，得，当 时，取到最小值5
故答案为C．

【点睛】

本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．

9．已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．其图象关于直线对称

C．函数是奇函数 D．当时,函数的值域是

【答案】D

【解析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到的解析式，画出其图象，即可得答案．

【详解】

，

由题意知，则，，，

把函数的图象沿轴向左平移个单位，

得．

作出函数的图象：

对A，函数在，上是减函数，故A错误；

对B，其图象的对称中心为，故B错误；

对C，函数为偶函数，故C错误；

对D，，，当，时，函数的值域是，，故正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．

10．设函数,的零点分别为、,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，根据，求得，从而得出结论．

【详解】

由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，

是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：

故有，故，，

，，

故选：B．

【点睛】

本题考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．

11．在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，

同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，

∵SB⊂平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，

∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC，

∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，

∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．

∵底面边长∴侧棱SA=2，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选B．

【考点】空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体

12．过曲线C1： (a＞0，b＞0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p＞0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c，0)，由题意知F2也是C3的焦点，所以C3：y2＝4cx.连接OM，NF2，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2.因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a.又NF2⊥NF1，|F1F2|＝2c，所以|NF1|＝2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得|NF2|＝x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0，解得e＝ (负值舍去)，故选D.

二、填空题

13．已知，，则__________．

【答案】

【解析】

14．14．设随机变量，若，则      ．

【答案】

【解析】试题分析：因为随机变量，所以，

，

，所以答案应填： ．

【考点】正态分布．

15．函数若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

作出函数与函数的图象，如图所示：

由题意,直线过(1,0)时,，

x>1时,，

直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),

则切线方程为,即，

令,则,∴，

∴函数若方程恰有四个不相等的实数根，实数的取值范围是.

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

16．设数列的前项和为，且， 为等差数列，则的通项公式        ．

【答案】．

【解析】设cn= ，

∵数列的前n项和为，且=1，∴c1=4，c2=8，

∴cn=c1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，

即cn= =4n

当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1+（1+）an﹣（1+）an﹣1=0

∴，即2•，

∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，

∴．

三、解答题

17．

在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（Ⅰ）求证：成等差数列；

（Ⅱ）若求.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.

【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：

即2分

∴

即4分

∵

∴即

∴成等差数列. 6分

（Ⅱ）∵∴8分

又10分

由（Ⅰ）得：∴12分

【考点】三角函数与解三角形.

18．如图，平面平面，四边形为矩形， ．为的中点， ．

（1）求证： ；

（2）若时，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）连结，则，从而得到，进而得到，由此能证明；（2）由（1）得．不妨设， ，取的中点为，建立坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，利用向量法即可.试题解析：（1）证明：连结，因， 是的中点，故．

又因平面平面，故平面，

于是．又，所以平面，

所以，又因，故平面，

所以．

（2）由（1），得，不妨设，则，取的中点，以为原点, 所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

从而.

设平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，

由于二面角为钝二面角，则余弦值为.

点睛：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的运用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，空间向量在立体几何中的应用之求异面直线所成的角，即平面的方向向量所成的角与异面直线所成的角相等或互补，主要通过观察来确定.

19．为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示．

（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；

（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望．

【答案】（1）①处填,②处填；频率分布直方图见解析,

（2）分布列见解析,

【解析】（1）利用频率等于频数除以样本总数，能求出频率分布表中的①、②位置应填什么数据，并能在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图能估计出这500名志愿者中年龄在，岁的人数．

（2）由已知得的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望．

【详解】

（1）①处填,②处填；补全频率分布直方图如图所示．

根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在的人数为．

（2）用分层抽样的方法,从中选取人,则其中“年龄低于岁”的有5人,“年龄不低于岁”的有人．

由题意知,X的可能取值为0,1,2,且

,,．

∴X的分布列为：

∴．

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意频率分布直方图的性质和排列组合知识的合理运用．

20．（本小题满分12分）椭圆 （）的上顶点为， 是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在两个定点， ．

【解析】试题分析：（1）设．以为直径的圆经过椭圆的右焦点即，从而得到b,c的一个方程，然后将点P代入椭圆方程得到a,b的一个方程，再结合,三个量三个方程，从而求出参数a,b，进而求出椭圆方程；（2）是否存在性问题应假设存在去求解．当直线的斜率存在时，设其方程为，由其与椭圆有且只有一个公共点得到．假设存在两点， 满足题设，然后得到 ．因与参数k,m无关，所以令其系数等于零即可求出．

试题解析：（1）， ，由题设可知，得

①

又点在椭圆上， ， ②

③

①③联立解得， ，

故所求椭圆的方程为

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，

整理得（）

方程（）有且只有一个实根，又，

所以，得

假设存在， 满足题设，则由

对任意的实数恒成立，

所以， 解得， 或

当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．

总上，存在两个定点， ，使它们到直线的距离之积等于．

【考点】求椭圆方程；‚存在性问题．

【方法点睛】（1）求椭圆方程常用的方法是待定系数法（本题即使用该法），即根据题意确定方程是那种形式（或）,然后根据条件求出a,b即可．另外，常用定义法，即根据题意动点满足到两定点距离之和等于定长且定长大于两定点间的距离，从而求出椭圆方程．（2）是否存在性问题，常假设存在去求解，如果求出存在；如果求不出即不存在．本题是假设存在，并求出，则要使其恒成立，需有参数的系数等于零即可求解．

21．已知函数在点处的切线与直线垂直.

（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出在处的切线斜率，求得的值，求出的极值点，列出参数的不等式组，即可求得实数的取值范围；（2）当时，，整理得，可设，，证明的最小值大于的最大值.

试题解析：（1）因为，所以，得，所以，

得，得，（）．

当时，，为增函数；当时，，为减函数，

所以函数仅当时，取得极值．

又函数在区间上存在极值，所以，所以，

故实数的取值范围为．

（2）当时，，即为，令，

则，

再令，则，

又因为，所以，所以在上是增函数，

又因为，

所以当时，，所以在区间上是曾函数，

所以当时，，故．

令，则．

因为，所以．

当时，，

故函数在区间上是减函数，

又，所以当时，，即得，即．

【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值，考查了考生的转化能力和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答时，先通过导数的几何意义求出待定系数的值，求出导函数的变号零点列出不等式即可；解答的难点是第二问中把根据证明的不等式合理构造两个函数，，通过求它们的最值达到证明不等式的目的.

22．已知直线:,（t为参数）,曲线:,(为参数).

（1）以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当时,求与的交点的极坐标（其中极径,极角）；

（2）过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

【答案】（1）,

（2）,轨迹是圆心为,半径为的圆

【解析】（1）先把极坐标方程化成普通方程，求出交点坐标后，再化成极坐标，即可得答案；

（2）先将参数方程化为普通方程，写出A点坐标为，利用中点坐标公式得到的坐标，消参后即可得答案.

【详解】

（1）当时,的普通方程为,

的普通方程为，

联立方程组,解得与的交点坐标为,．

所以两点的极坐标为,.

（2）的普通方程为,设A点坐标为,

故当变化时,P点轨迹的参数方程为（为参数）

P点轨迹的普通方程为．

故P点轨迹是圆心为,半径为的圆．

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程的互化、利用参数方程求轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

23．设 .

(1)求 的解集;

(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.

【答案】(1) (2.

【解析】【详解】试题分析：

 (1)分情况讨论去绝对值求解即可；

(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得，再解不等式即可.

试题解析：

(1)由有或

或

解得,所求解集为.

(2=,

当且仅当时取等号.

由不等式对任意实数恒成立,

可得,解得.